Irreduzibilität eines Polynoms nachweisen

02.01.2013, 14:38	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Irreduzibilität eines Polynoms nachweisen Frohes neues Jahr zusammen! Nachdem gestern der große Ausnüchterungstag war, hat mich heute wieder die Mathematik eingeholt und ich hänge an folgender Aufgabe fest: Sei $\begin{eqnarray} p>2 \end{eqnarray}$ eine Primzahl, $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ ein Primteiler von $\begin{eqnarray} p-1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ein Erzeuger von $\begin{eqnarray} \mathbb F_{p}^ \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass das Polynom $\begin{eqnarray} x^q+px^k-a \end{eqnarray}$ irreduzibel ist für alle $\begin{eqnarray} k \geq 1 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb Q[x] \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Mein Ansatz war, das Ganze vielleicht mit dem Reduktionskriterium zu zeigen. Ich betrachte das Polynom also als Polynom in $\begin{eqnarray} \mathbb Z[x] \end{eqnarray}$ mit zugehörigem Quotientenkörper $\begin{eqnarray} \mathbb Q[x] \end{eqnarray}$ und reduziere $\begin{eqnarray} mod \ p \end{eqnarray}$ . Dann habe ich das Polynom $\begin{eqnarray} x^q-a \end{eqnarray}$ . Hier komme ich dann leider nicht weiter. Ich dachte mir, dass man hier eventuell das Eisensteinkriterium anwenden kann (Falls man das in dieser Situation noch darf). Das würde aber nur funktionieren, wenn $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ einen nicht-quadratischen Primteiler hat. Ist aber nun $\begin{eqnarray} p=11 \end{eqnarray}$ , so ist $\begin{eqnarray} 8 \end{eqnarray*}$ ein Erzeuger der multiplikativen Gruppe und das Ganze geht somit schief. Vielleicht hat ja jemand von euch einen Tipp für mich? Vielen Dank schonmal!
03.01.2013, 13:51	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier mal eine Möglichkeit: Sei $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ irgendeine Nulstelle von $\begin{eqnarray} f =x^q-a \in \mathbb F_p[x] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ . Wir wissen: $\begin{eqnarray} g\| f \end{eqnarray}$ . Wir wollen zeigen: $\begin{eqnarray} g = f \end{eqnarray}$ . 1. Zeige, dass $\begin{eqnarray} \alpha \notin \mathbb F_p \end{eqnarray}$ 2. Zeige, dass alle $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ -te Einheitswurzeln in $\begin{eqnarray} \mathbb F_p \end{eqnarray}$ liegen. 3. Folgere, dass $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ neben $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ noch mind. eine weitere Nullstelle haben muss. Folgere weiter, dass diese die Form $\begin{eqnarray} \zeta \alpha \end{eqnarray}$ hat, wo $\begin{eqnarray} \zeta \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ -te Einheitswurzel ist. 4. Dies gibt uns einen wohldefinierten Automorphismus $\begin{eqnarray} \sigma: \mathbb F_p(\alpha) \to \mathbb F_p(\alpha), \alpha \mapsto \zeta \alpha \end{eqnarray}$ . Folgere $\begin{eqnarray} g(\zeta^s \alpha) = 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} 0 \leq s \leq q-1 \end{eqnarray}$ . Dann bist du fertig. Sieht jetzt ein bisschen viel aus, aber eigentlich ist jeder Schritt recht einfach.
03.01.2013, 19:52	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi tmo und vielen Dank für die Antwort. Puh! Dass da soviel Arbeit dahintersteckt, hätte ich nicht gedacht - vor allem wäre ich da niemals draufgekommen, da wir eigentlich ganz andere Sachen in de VL machen (Hensel-Lifting, Berlekamp etc.) und diese Aufgabe daher komplett aus dem Raster fällt. Körpererweiterungen haben wir in dieser VL nur angerissen. Erstmal kurz was zu deinem vorgeschlagenen Lösungsweg (ausführliche Beweiswege werden nachgereicht). Zu 1: Hier habe ich gezeigt, dass die Ordnung von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ kein Teiler von $\begin{eqnarray} p-1 \end{eqnarray}$ ist. Das war nicht sehr schwierig. Zu 2: Da habe ich mich etwas schwer getan. Ich weiß, da ich letztes Semester Galoistheorie gehört habe (durch ein Urlaubssemester ist mein Studienablauf etwas durcheinander geraten), dass aus den Sylow-Sätzen folgt, dass es zu jedem Primteiler $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ der Gruppenordnung ein Element der Ordnung $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ gibt. Damit konnte ich dann folgern, dass eine primitive $\begin{eqnarray} q-te \end{eqnarray}$ Einheitsurzel in $\begin{eqnarray} \mathbb F_p \end{eqnarray}$ liegt und dann sieht man leicht, dass alle anderen auch drin liegen. Diesen Satz hatten wir allerdings nicht in unserer Vorlesung... Naja. Zu 3: Da $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ nicht in $\begin{eqnarray} \mathbb F_p \end{eqnarray}$ liegt, kann $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ keinen Linearfaktor abspalten und da $\begin{eqnarray} g\|f \end{eqnarray}$ , ist $\begin{eqnarray} deg(g) \geq 2 \end{eqnarray}$ . Außerdem ist $\begin{eqnarray} \zeta \alpha \end{eqnarray}$ Nullstelle von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ für eine primitive Einheitswurzel (sogar für jede, was man sofort sieht) und somit auch von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ . Wiederum aus der Vorlesung Galoistheorie weiß ich, dass mir dies jetzt diesen eindeutigen Automorphismus liefert. Allerdings hatten wir auch das nicht in unserer Vorlesung gehabt. Hier hänge ich auch noch ein bisschen: Wie kann ich folgern, dass $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ jetzt all diese Nullstellen hat? Der Automorphismus ist ja eindeutig festgelegt und hat die Abbildungsvorschrift $\begin{eqnarray} \sigma: \alpha \mapsto \zeta\alpha \mapsto ... \mapsto \zeta^{q-1}\alpha \mapsto \alpha \end{eqnarray}$ Ich weiß, dass der Automorphismus Nullstellen auf Nullstellen abbildet. Bin ich damit fertig? Man sieht sofort, dass $\begin{eqnarray} f(\zeta^s \alpha) = 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} 0 \leq s \leq q-1 \end{eqnarray}$ . Aber für das $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ ist mit das noch nicht so ganz klar. Der Rest ist ja dann klar: $\begin{eqnarray} deg(g)=q \end{eqnarray}$ , somit $\begin{eqnarray} f=g \end{eqnarray}$ und da das Minimalpolynom irreduzibel ist, ist somit $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ irreduzibel in $\begin{eqnarray} \mathbb F_p \end{eqnarray}$ und nach dem Reduktionskriterium auc irreduzibel in $\begin{eqnarray} \mathbb Q[x] \end{eqnarray}$
04.01.2013, 08:59	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 2: Sylowsätze sind hier ein zu starkes Kaliber. Für abelsche Gruppen sind die Sylowsätze eher uninteressant, da trivial. Insbesondere iist für zyklische Gruppen klar: Ist $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ein Erzeuger und $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ die Mächtigkeit der Gruppe, so ist zu jedem Teiler $\begin{eqnarray} d \| n \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} a^{\frac{n}{d}} \end{eqnarray}$ ein Element der Ordnung $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ gegeben, also eine $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ -te Einheitswurzel. Zu 4: Die Eigenschaft, dass $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ Nullstellen auf Nullstellen abbildet, gilt ja auch für $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ . Nun bildet aber natürlich auch $\begin{eqnarray} \sigma^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma^3 \end{eqnarray}$ etc. Nullstellen auf Nullstellen ab...
05.01.2013, 21:24	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 2: Natürlich... Mensch, manchmal denkt man einfach zu kompliziert. Ich war schon so in der Sylow-Ecke drin, dass ich davon einfach nicht mehr abrücken wollte. Und deine Erklärung zur 4 ist auch einleuchtend. Vielen Dank für deine Hilfe. Hab das Ganze so fertigstellen können.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »