Zeigen, dass Abbildung ein Isomorphismus ist

02.01.2013, 18:14

Timbonane

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Zeigen, dass Abbildung ein Isomorphismus ist

Hallo!

Ich habe ein großes Problem mit der Aufgabe, da ich die Angabe teilweise nicht verstehe, bzw nicht weis ob ich das ganze richtig Interpretiere, d.h. dass meine Frage jetzt erstmal ist, ob ich das richtig verstehe, um dann überhaupt mal mit einem Beweis anfangen zu können!

Die Aufgabe lautet:

Es sei $\begin{eqnarray*} W:=\lbrace(\alpha_i)_{i\in\mathbb N}:\alpha_i\in\mathbb R\,\forall i\in \mathbb N\rbrace \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} V:=\lbrace a=(a_i)_{i\in\mathbb N}\in W:\exists i_a \in \mathbb N\,\, mit \,\,a_i=0 \,\,\forall i \geq i_a\rbrace \end{eqnarray*}$
Dann ist V ein Unterraum von W.
Für $\begin{eqnarray*} a=(a_i)_{i\in\mathbb N}\in V \end{eqnarray*}$ (mit a_i=0 für alle $\begin{eqnarray*} i \ge i_a \end{eqnarray*}$ mit einem geeigneten $\begin{eqnarray*} i_a\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha=(\alpha_i)_{i\in\mathbb N}\in W \end{eqnarray*}$
sei $\begin{eqnarray*} \varphi ( \alpha,a):=\sum_{i=1}^{i_a} \alpha_i a_i \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie, dass die Zuordnung
$\begin{eqnarray*} \alpha \mapsto(a\mapsto\varphi ( \alpha,a)) \end{eqnarray*}$ einen Isomorphismus zwischen W und $\begin{eqnarray*} Hom(V,\mathbb R) \end{eqnarray*}$ bildet.

Soo, wie gesagt hab ich jetzt schon mit der Angabe meine Probleme.
W ist dann doch die Menge aller Matrizen, oder?
muss ich dann zeigen, dass es zu jeder Matrix eine genau zugeordnete lineare Abbildung gibt?
Dass dies der Fall ist, hatten wir in der VO auch schon besprochen, aber muss ich hier quasi den exakten Beweis liefern?
Oder ist die Aufgabe, dass ich zeigen muss dass jede lineare Abbildung genau ein Koordinatensystem bildet?
Ich wäre über Wegweiser, oder Schubser in die richtige Richtung sehr froh, ansonsten muss ich sie wohl weglassen und in der Übung vorrechnen lassen, wovon ich aber immer wenig halte verwirrt

verwirrt

.
Danke schon im Voraus!

02.01.2013, 18:27

Elvis

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W sind nicht "alle Matrizen", sondern reelle Folgen. Und du musst zeigen, dass die gegebene Abbildung von W in Hom(V,R) bijektiv und linear ist.

02.01.2013, 18:29

Leopold

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Nein, $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ besteht nicht aus Matrizen, sondern aus allen reellen Zahlenfolgen. Du kannst solch eine Folge auch als (Abzählbar-)Unendlich-Tupel ansehen. Während also etwa $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ aus Tripeln $\begin{eqnarray*} a = (a_1,a_2,a_3) \end{eqnarray*}$ reeller Zahlen $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,a_3 \end{eqnarray*}$ besteht, so sind die Elemente von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ von der Art $\begin{eqnarray*} a = (a_1,a_2,a_3,\ldots) \end{eqnarray*}$ , wobei die $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,a_3,\ldots \end{eqnarray*}$ wieder reelle Zahlen sind. Man schreibt daher für $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ gelegentlich auch $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ .
Und $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ besteht aus denjenigen Elementen von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ , bei denen nur endlich viele Koordinaten ungleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sind. So sind z.B.

$\begin{eqnarray*} a = (1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0,\ldots) \, , \ \ b = (2,0,1,3,0,0,0,\ldots) \end{eqnarray*}$

Elemente von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ . Aber nur $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist Element von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . (Natürlich ist gemeint, daß die Folgen sinngemäß fortgesetzt werden.)

02.01.2013, 18:36

Timbonane

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Ahh, ok dann hab ich das ja komplett falsch verstanden!

Vielen Dank für die ERklärung, jetzt weis ich erstmal wo ich anfangen kann Big Laugh

Big Laugh

Ich meld mich wieder wenn ich nen Ansatz habe,

vielen Dank schonmal

03.01.2013, 11:48

Timbonane

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Interpretier ich das richtig?

Die Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi(\alpha,a) \end{eqnarray*}$ bildet also quasi das "Skalarprodukt(Linearkombination?)" aus meinen beiden unendlich-Tupeln, wobei dieses Skalarprodukt dann ja nur noch von endlich vielen Werten abhängt, wegen
$\begin{eqnarray*} a_i=0,\forall i>i_a \end{eqnarray*}$ ?

Das heisst meine Zuordnung ordnet dann meinem $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ jene Abbildung zu, welche das Skalarprodukt aus $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bildet?.

Und was ich ja zeigen muss, ist dass meine Abbildung linear und bijektiv ist.

d.h. $\begin{eqnarray*} f(x+y)=f(x)+f(y) \end{eqnarray*}$ für f linear

Also in meinem Fall $\begin{eqnarray*} f(\alpha+\beta)=f(\alpha)+f(\beta) \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} f(\alpha)+f(\beta)=\varphi(\alpha,a)+\varphi(\beta,a)=\sum_{i=1}^{i_a}\alpha_i a_i+\sum_{i=1}^{i_a}\beta_i a_i=\sum_{i=1}^{i_a}\alpha_i a_i+\beta_ia_i=\sum_{i=1}^{i_a}(\alpha_i+\beta_i) a_i=\varphi((\alpha+\beta),a)=f(\alpha+\beta) \end{eqnarray*}$
Stimmt das so?

03.01.2013, 12:16

RavenOnJ

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Das sieht nicht schlecht aus. Allerdings zeigst du damit nur, dass dein $\begin{align*} f \end{align*}$ ein injektiver Homomorphismus ist. Du musst aber noch zeigen, dass jeder Homomorphismus aus $\begin{align*} Hom(V,\mathbb{R}) \end{align*}$ genau einem $\begin{align*} \alpha\in W \end{align*}$ zugeordnet werden kann, damit das $\begin{align*} f \end{align*}$ ein Isomorphismus wird.

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03.01.2013, 13:39

Timbonane

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Also wenn ich das mit der Injektivität nochmal schön aufschreibe, müsste das dann so funktionieren:

$\begin{eqnarray*} Sei\ f(\alpha)=f(\beta)<br /> d.h.\ \varphi(\alpha,a)=\varphi(\beta,a)<br /> d.h.\ \sum_{i=1}^{i_a} \alpha_i a_i=\sum_{i=1}^{i_a} \beta_i a_i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d.h. \sum_{i=1}^{i_a} \alpha_i a_i-\sum_{i=1}^{i_a} \beta_i a_i=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d.h.\sum_{i=1}^{i_a} (\alpha_i-\beta_i) a_i=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d.h.\ \alpha_i-\beta_i=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d.h.\ \alpha_i=\beta_i \end{eqnarray*}$

Is das so richtig? möchte das auch schön argumentieren können, weil aus dem vorigen Post hätt ich das noch gar nicht so rauslesen können :/

bezüglich der surjektivität, da hab ich immer so meine Probleme...ich muss ja zeigen, dass es zu jeder Funktion f ein so ein alpha gibt, dass ich die Summe bilden kann.
Jedoch leuchtet mir überhaupt nicht ein, warum es so ein alpha nicht geben sollte....ich kann mir doch einfach eins suchen, oder? Die Funktion sieht bei verschiedenen alpha doch immer verschieden aus.. verwirrt

verwirrt

03.01.2013, 14:27

RavenOnJ

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Das ist gut, schreib aber besser \Rightarrow statt "d.h.". Bei der ersten Folgerung solltest du noch schreiben: $\begin{align*} \forall a \end{align*}$ . Deswegen solltest du die obere Grenze in den Summen auch auf $\begin{align*} \infty \end{align*}$ ändern.
Die Vorletzte Folgerung gilt nur, weil die $\begin{align*} a_i \end{align*}$ beliebig sind.

Überleg mal, wie die linearen Abbildungen von $\begin{align*} V\to \mathbb{R} \end{align*}$ aussehen müssen bzw. dass sie immer die Form
$\begin{eqnarray*} \sum\limits^{\infty}_{i=1}a_i b_i \end{eqnarray*}$
mit bestimmten, von der Abbildung abhängigen $\begin{align*} b_i \end{align*}$ haben müssen und dass die Folge $\begin{align*} (b_i)_{i\in\mathbb{N}} \end{align*}$ im Prinzip unendlich viele Glieder $\begin{align*} \ne 0 \end{align*}$ haben kann. Beachte dabei, dass zwei Folgen $\begin{align*} a,b\in V \end{align*}$ unterschiedliche $\begin{align*} i_a,i_b \end{align*}$ haben können.

(Ich nehme an, in deiner Definition für $\begin{align*} V \end{align*}$ soll es heißen:
$\begin{align*} \exists i_a: a_i = 0 \;\;\forall i > i_a \end{align*}$ und nicht $\begin{align*} \;\cdots i\ge i_a \end{align*}$ )

03.01.2013, 16:33

Timbonane

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Ok, das verstehe ich jetzt nicht so ganz, ich komm da irgendwie auf nix...

Die Abbildungen gehen von $\begin{eqnarray*} V->\mathbb R \end{eqnarray*}$ , d.h. alle diese Abbildungen müssen Folgen auf Skalare abbilden.

d.h. alle Elemente aus V haben eine solche Darstellung: $\begin{eqnarray*} x=\sum_{i=1}^{i_a} a_ix_i \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt die Funktion darauf anwende, d.h. $\begin{eqnarray*} f(x)=f(\sum_{i=1}^{i_a} a_ix_i)=\sum_{i=1}^{i_a} a_if(x_i) \end{eqnarray*}$ .
So, und nun weis ich gar nicht mehr weiter.
Könnte man so weiterschreiben?
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{i_a} a_iy_i \end{eqnarray*}$

03.01.2013, 17:13

Timbonane

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Meinen letzten Post bitte ignorieren, grade selber draufgekommen was ich da für einen Bockmist zusammengeschrieben hab LOL Hammer

LOL Hammer

03.01.2013, 17:18

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Timbonane

Die Abbildungen gehen von $\begin{eqnarray*} V\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ , d.h. alle diese Abbildungen müssen Folgen auf Skalare abbilden.

das ist richtig. Da es sich aber um lineare Abbildungen handelt, müssen bestimmte Dinge gelten.

Zitat:

d.h. alle Elemente aus V haben eine solche Darstellung: $\begin{eqnarray*} x=\sum_{i=1}^{i_a} a_ix_i \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Elemente aus $\begin{align*} V \end{align*}$ haben die Form $\begin{align*} (a_i)_{i\in\mathbb N} \end{align*}$ sowie die Bedingung, dass nur endlich viele $\begin{align*} a_i \ne 0 \end{align*}$ . Du meinst wohl was anderes.

03.01.2013, 17:19

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Timbonane
Meinen letzten Post bitte ignorieren, grade selber draufgekommen was ich da für einen Bockmist zusammengeschrieben hab LOL Hammer

LOL Hammer

Ist ja gut, dass du das so schnell erkannt hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.01.2013, 17:47

Timbonane

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Neuer Versuch:

Weil die Abbildungen ja linear sind, muss gelten $\begin{eqnarray*} f((a_i)+(b_i))=f((a_i))+f((b_i)) \end{eqnarray*}$

Also lt. Funktionsvorschrift:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{max \lbrace a_i,b_i \rbrace} \alpha_i(a_i+b_i)=\sum_{i=1}^{a_i} \alpha_i a_i+\sum_{j=1}^{b_j} \alpha_i b_i \end{eqnarray*}$

Daraus muss dann ja aber folgen, dass a_i gleich b_j, oder? wegen den Rechenregeln von Summen?

03.01.2013, 18:51

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Timbonane
Neuer Versuch:

Weil die Abbildungen ja linear sind, muss gelten $\begin{eqnarray*} f((a_i)+(b_i))=f((a_i))+f((b_i)) \end{eqnarray*}$

Also lt. Funktionsvorschrift:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{max \lbrace a_i,b_i \rbrace} \alpha_i(a_i+b_i)=\sum_{i=1}^{a_i} \alpha_i a_i+\sum_{j=1}^{b_j} \alpha_i b_i \end{eqnarray*}$

Daraus muss dann ja aber folgen, dass a_i gleich b_j, oder? wegen den Rechenregeln von Summen?

Nein, das folgt nicht daraus.

Es muss außerdem heißen

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{max \lbrace i_a,i_b \rbrace} \alpha_i(a_i+b_i)=\sum_{i=1}^{i_a} \alpha_i a_i+\sum_{j=1}^{i_b} \alpha_i b_i \end{eqnarray*}$

Hat jede lineare Abbildung $\begin{align*} \in Hom(V,\mathbb R) \end{align*}$ diese Form? Es besteht also die Frage, ob man jede lineare Abbildung als

$\begin{eqnarray*} h:V\to \mathbb R, a = (a_i)\mapsto \sum^\infty_{i=1}a_i \beta_i ,\beta_i\in\mathbb R \end{eqnarray*}$

schreiben kann. Ob also immer eine Folge $\begin{align*} (\beta_i)_{i\in\mathbb N} \end{align*}$ eine solche lineare Abbildung repräsentiert. Wenn dies nämlich der Fall ist, dann hätte man eine Zuordnung

$\begin{align*} Hom(V,\mathbb R)\to W \end{align*}$

03.01.2013, 20:02

Timbonane

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Tut mir leid dass ich das nicht so schnell auf den Schirm bekomme, ich tu mir bei abstrakteren Sachen einfach noch schwer Big Laugh

Big Laugh

Ich hoffe meine Überlegung ist jetzt nicht wieder zu weit hergeholt...

Wenn ich mir überlege, was die Basen von V sein könnten, dann komme ich eben auf die Folgen

$\begin{eqnarray*} e_1=(1,0,0,......)\\e_2=(0,1,0,......)\\e_3=(0,0,1,......)\\etc. \end{eqnarray*}$

Dann lässt sich ja jede Folge $\begin{eqnarray*} a=(a_i) \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{i_a} a_ie_i \end{eqnarray*}$ schreiben...
Also hat dann auch jede lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} h:V\rightarrow\mathbb R \end{eqnarray*}$ solch eine Darstellung?

Und wenn ich dann noch sage, dass meine $\begin{eqnarray*} \beta_i \end{eqnarray*}$ einfach meine $\begin{eqnarray*} e_i \end{eqnarray*}$ sind, dann repräsentiert auch jedes $\begin{eqnarray*} \beta_i \end{eqnarray*}$ eine solche lineare Abbildung.
Somit hab ich eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} Hom(V,\mathbb R) \rightarrow W \end{eqnarray*}$
Aber ich bin mir sehr unsicher, ob ich das alles so sagen kann..

04.01.2013, 11:04

Timbonane

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Hab über die Nacht nochmal drüber nachgedacht, und bin mir bzgl der Basis $\begin{eqnarray*} (e_1,e_2,...) \end{eqnarray*}$ nun so gar nicht mehr sicher, kann ich überhaupt eine Basis für V angeben? Und wenn ich sage, dass meine $\begin{eqnarray*} e_i \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} \beta_i \end{eqnarray*}$ darstellen, dann hab ich ja nur die Folgen die 1 und 0 enthalten, nicht aber alle Folgen, oder?

04.01.2013, 11:43

RavenOnJ

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Denk mal an den endlich-dimensionalen Vektorraum $\begin{align*} \mathbb{R}^n \end{align*}$ . Wodurch werden die linearen Abbildungen $\begin{align*} \mathbb{R}^n \to\mathbb R \end{align*}$ dargestellt? Im unendlich-dimensionalen Vektorraum $\begin{align*} V \end{align*}$ ist es ganz analog.

04.01.2013, 13:56

Timbonane

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Naja die linearen Abbildungen $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ werden durch 1xn Matrizen dargestellt, aber dies gilt dann doch nur für endlichdimensionale Vektorräume, oder?

Oder kann ich dann sagen, dass alle lineare Abbildungen von $\begin{eqnarray*} V \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ eben durch so eine $\begin{eqnarray*} 1 \times \infty \end{eqnarray*}$ Matrix dargestellt wird, also durch so ein unendlich-Tupel, also durch eine Folge $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ?

04.01.2013, 15:30

RavenOnJ

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Es werden also die linearen Abbildungen der endlich-dimensionalen Unterräume von $\begin{align*} V \end{align*}$ durch solche $\begin{align*} 1\times n \end{align*}$ -Matrizen dargestellt. Dann liegt die Ausdehnung auf einzeilige, unendliche-dimensionale Matrizen nahe. Man müsste das jetzt genauer mit Mitteln der Funktionalanalysis begründen, ich denke aber nicht, dass das bei dir gefordert ist. Vielleicht solltest du es bei dieser Heuristik belassen und einfach konstatieren, dass lineare Abbildungen $\begin{align*} Hom(V,\mathbb R) \end{align*}$ durch Folgen aus $\begin{align*} W \end{align*}$ repräsentiert werden.

04.01.2013, 16:05

Timbonane

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Nein, Funktionalanalysis steht bei mir noch nicht auf dem Programm Big Laugh

Big Laugh

Habe mir schon fast gedacht, dass der Ausdruck $\begin{eqnarray*} 1\times \infty \end{eqnarray*}$ Matrix ein bisschen schwammig ist, zumindest liest es sich so, aber ich verstehe nun zumindest, was der Plan hier ist, und was das gesamte Beispiel darstellen soll, mit den Mitteln die ich zur Verfügung habe, das reicht mir vollkommen Big Laugh

Big Laugh

Vielen Dank für die Geduld mit meinen vielen Fehlversuchen!

04.01.2013, 16:13

RavenOnJ

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Bitte sehr. Ist ja auch nicht ganz einfach, wenn man es mal genauer betrachtet.

04.01.2013, 16:26

Timbonane

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Jo, im nachhinein gings jetzt echt, aber wenn man noch nie mit so etwas zu tun hatte, können einen solche Aufgaben ganz schön verwirren Big Laugh

Big Laugh

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