Grenzwerte von Folgen

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03.01.2013, 09:00	StevenSpielburg	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwerte von Folgen Hallo, ich sitze gerade vor ein paar Aufgaben zur Grenzwertberechnung von folgen. Komme da bei ein paar Aufgaben nicht weiter. Hier mal die Aufgaben vielleicht könnt ihr mir helfen... 1) $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \sqrt{n+1} -\sqrt{n} \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \sqrt{9n^{2} +2n+1} -3n \end{eqnarray}$ 3) $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{1+2+...+\infty }{n^{2} } \end{eqnarray}$
03.01.2013, 09:30	Alive-and-well	Auf diesen Beitrag antworten »
1) Probier mal das 3te Binom! 2) dito 3) Falls das "inf" im Zähler eigentlich ein "n" ist dann sollte der kleien Gauss helfen!
03.01.2013, 09:40	StevenSpielburg	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der 3. soll das n heißen ja richtig. Mein Tutor hat mir auch etwas mit dem 3. Binom gesagt bei der ersten. Allerdings kann ich damit nichts anfangen. Könntest du mir wohl einen Ansatz geben?
03.01.2013, 10:51	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der ersten sollst du mit $\begin{eqnarray} \sqrt{n+1}+\sqrt{n} \end{eqnarray}$ erweitern. Eine andere Möglichkeit wäre $\begin{eqnarray} \sqrt{n+1}=\sqrt{\sqrt{n}\left(\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)} \leq \sqrt{n}+\frac{1}{2\sqrt{n}} \end{eqnarray}$ zu benutzen. Gruß Shipwater
03.01.2013, 11:01	StevenSpielburg	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, wäre Super wenn du mir mal die ersten Schritte beim erweitern zeigen könntest. Stehe da wirklich ziemlich auf dem Schlauch. Besten dank
03.01.2013, 11:28	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Weißt du denn was erweitern bedeutet? Es gilt $\begin{eqnarray} \sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \end{eqnarray}$ Nun wende im Zähler die 3.binomische Formel an. Gruß Shipwater
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03.01.2013, 16:06	StevenSpielburg	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die erste und zweite habe ich hinbekommen...aber wie soll die dritte funktionieren?
03.01.2013, 16:09	LuckyLoser	Auf diesen Beitrag antworten »
Siehe Alive-and-well's Beitrag
03.01.2013, 16:17	StevenSpielburg	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay ich habe jetzt meines Wissens noch nicht in der Vorlesung mit Gauß gearbeitet. Gibt es noch eine andere Lösung? Zum Beispiel erst eine gute Bildungsvorschrift aufstellen?
03.01.2013, 17:02	StevenSpielburg	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin auf noch ein paar Probleme gestoßen, hoffe ihr könnt mir helfen... 4) $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{3^{2n}-19 }{9^{n}+12 } \end{eqnarray}$ 5) $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{2n+(-1)^{n} }{n} \end{eqnarray}$ Bei der 4 kann man ja direkt den Zähler vereinfachen zu $\begin{eqnarray} 9^{n}-19 \end{eqnarray}$ Aber dann weiß ich nicht weiter... Bei der 5 soll als Ergebnis 2 rauskommen... Ich hätte gedacht +-2 da es ja eigentlich alternierend ist?!
03.01.2013, 17:10	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal zur 3: Vielleicht ist dir die gesuchte Gleichung ja als Gaußsche Summenformel geläufig.
03.01.2013, 17:13	LuckyLoser	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 3) Das sollte kein Problem darstellen. Zur Not kann man das auch schnell beweisen 4) Erweitere mit $\begin{eqnarray} \frac{\frac{1}{9^n}}{\frac{1}{9^n}} \end{eqnarray}$ und betrachte dann den Grenzwert 5) Da funktioniert der selbe Trick wie in 4)
04.01.2013, 13:26	StevenSpielburg	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay habe die 4 und 5 mit Erweiterung hinbekommen, eigentlich ganz einfach wenn Mans mal gemacht hat, vielen dank für den Trick. Ich hätte dann noch 2 Grenzwerte die etwas schwieriger sind, glaube ich. 6) $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } (1+\frac{1}{n^{2} } )^{n} \end{eqnarray}$ 7) $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{n!}{n^{n} } \end{eqnarray}$
04.01.2013, 14:17	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der 6) könnte $\begin{eqnarray} \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n=\sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}} \end{eqnarray}$ helfen. Bei der 7) könnte die Abschätzung $\begin{eqnarray} n! \leq n^{n-1} \end{eqnarray}$ helfen (überleg dir warum das gilt). Gruß Shipwater
04.01.2013, 22:05	StevenSpielburg	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der 6 wuerde dann ja Wurzel und unter der Wurzel die e Funktion stehen. Bei der 7 wäre meine Argumentation einfach. Dass die Potenz schneller steigt als die Fakultät.
04.01.2013, 22:19	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja das was unter der n.Wurzel steht, ist zwar keineswegs die e-Funktion, aber der Ausdruck unter der n.Wurzel konvergiert gegen e (ich denke das hast du gemeint). Ich würde bei dieser Aufgabe in beide Richtungen abschätzen, so dass anschließend das "Einschließungskriterium" benutzt werden kann. Und die 7 musst du natürlich schon ordentlich zeigen, so eine Pseudoargumentation wird ungern gesehen. Die Aufgabe ist aber trivial, wenn du $\begin{eqnarray} n!\leq n^{n-1} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ verwendest. Ich frage nochmal, ob du begründen kannst, dass diese Ungleichung gilt. Gruß Shipwater
05.01.2013, 09:07	Alive-and-well	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei AUfgabe 7 könntest du Zähler und Nenner auch mal "ausschreiben" und dir überlegen was dann zu Tun ist.
05.01.2013, 14:24	StevenSpielburg	Auf diesen Beitrag antworten »
Begründen könnte ich das bei der 7 nur indem ich ein paar folgeglieder aufschreibe und daran das Belege. Okay ich bin jetzt davon ausgegangen das das die e Fkt ist. Wie kann ich denn zeigen das der Ausdruck dagegen konvergiert?
05.01.2013, 14:31	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} n!=2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \end{eqnarray}$ ist ein Produkt aus n-1 Faktoren, die alle $\begin{eqnarray} \leq n \end{eqnarray}$ sind, daraus ergibt sich $\begin{eqnarray} n! \leq n^{n-1} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ Mit dieser Abschätzung sollte die 7 dann keine Probleme mehr bereiten. Zur 6: Nach unten kannst du ja einfach durch 1 abschätzen. Überlege dir nun noch wie du (geschickt) nach oben abschätzen kannst. Ihr habt ja bestimmt schon so einiges zur Folge $\begin{eqnarray} \left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ gezeigt. Gruß Shipwater

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