Lineare Abbildung, Nachweis K-VR

03.01.2013, 13:04	tcp	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung, Nachweis K-VR Hallo ich sitze grade an einer Aufgabe und weiss nicht ob ich auf dem richtigen Weg bin. Ich soll zeigen das die linearen Abbildungen von V nach W (beides K-VRe), bei uns L(V,W) genannt, wieder einen K-Vektorraum darstellen. Die Addition / Multiplikation ist definiert als $\begin{eqnarray} f + g:= x -> f(x) + g(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha f := \alpha f(x) \end{eqnarray}$ Mein Ansatz ist das ich einfach zeige das es sich um einen Untervektorraum von Abb(V,W) (Raum aller Abbildungen von V nach W) handelt. UVR1 ist mit der Nullabbildung einfach, schwer tue ich mir beim UVR2. ich muss zeigen $\begin{eqnarray} \alpha f + \beta g \end{eqnarray}$ linear ist. (definition) $\begin{eqnarray} = \alpha f(x) + \beta g(x) \end{eqnarray}$ (linearität von f,g) $\begin{eqnarray} = f(\alpha x) + g(\beta * x) \end{eqnarray*}$ Jetzt weiss ich nicht mehr weiter, vielleicht könnt ihr mir ja helfen, kann ja auch sein das ich komplett auf dem falschen Weg bin :-) Vielen Dank
03.01.2013, 13:10	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung, Nachweis K-VR Du möchtest zeigen, dass $\begin{eqnarray} (\alpha f+\beta g)(\lambda x+\mu y)=\lambda(\alpha f+\beta g)(x)+\mu(\alpha f+\beta g)(y)\,. \end{eqnarray}$ Das sieht schon besser aus als dein bisheriger Ansatz, versuche es also mal damit.
03.01.2013, 17:27	tcp	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (\alpha f+\beta g)(\lambda x+\mu y)<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> (\alpha f (\lambda x+\mu y)+\beta * g(\lambda x+\mu y)<br /> \end{eqnarray}$ \| (Def.) $\begin{eqnarray} <br /> f (\alpha * (\lambda x+\mu y))+g(\beta * (\lambda x+\mu y))<br /> \end{eqnarray}$ \| (Lin. f,g) $\begin{eqnarray} <br /> f (\alpha * \lambda x+ \alpha * \mu y)+g(\beta * \lambda x+ \beta * \mu y)<br /> \end{eqnarray}$ \| (Dist.) $\begin{eqnarray} <br /> f (\alpha * \lambda * x) + f (\alpha * \mu * y) + g(\beta * \lambda * x) + g(\beta * \mu * y)<br /> \end{eqnarray}$ \| (Lin. f,g) $\begin{eqnarray} <br /> f (\alpha * \lambda * x) + g(\beta * \lambda * x) + f (\alpha * \mu * y) + g(\beta * \mu * y)<br /> \end{eqnarray}$ \|(Kom.) $\begin{eqnarray} <br /> \lambda * f (\alpha * x) + \lambda * g(\beta * x) + \mu * f (\alpha * y) + \mu * g(\beta * y)<br /> \end{eqnarray}$ \| (Lin. f,g) $\begin{eqnarray} <br /> \lambda * (f(\alpha * x) + g(\beta * x)) + \mu * (f (\alpha * y) + g(\beta * y))<br /> \end{eqnarray}$ \| (Dist) $\begin{eqnarray} <br /> \lambda * (\alpha * f(x) + \beta * g(x)) + \mu * (\alpha f ( y) + \beta g(y))<br /> \end{eqnarray}$ \|(Lin. f,g) $\begin{eqnarray} <br /> \lambda(\alpha f+\beta g)(x)+\mu(\alpha f+\beta g)(y) \end{eqnarray*}$ \| (Definition) Kann man das so machen? Am Ende jeder Zeile steht was ich verwendet habe, würde mich über eine Rückmeldung freuen und in welcher Zeile ggf. was falsch ist :-)
03.01.2013, 17:30	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso ziehst du $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ in die Funktionen rein? Das ist überflüssig, insgesamt ist es aber richtig.

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