Komplexe Zahl in Normalform

03.01.2013, 21:19

frostkrieger

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Komplexe Zahl in Normalform

Hallo ich hab folgende Aufgabe:

Ermitteln Sie alle komplexen Zahlen in Normalform, für die gilt: $\begin{eqnarray*} z²+z*\overline {z}=2+3j \end{eqnarray*}$

Also ich habe keine Ahnung wie ich daran gehen soll. Mir würde erstmal ein Tipp reichen wie ich an so eine Aufgabe rangehe. und was bedeutet das $\begin{eqnarray*} \overline {z} \end{eqnarray*}$ ?

Gruß

Jan Hammer

Hammer

03.01.2013, 21:24

Che Netzer

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RE: Komplexe Zahl in Normalform
Setze als erstes $\begin{eqnarray*} z=x+\mathrm iy \end{eqnarray*}$ .
Der Strich über dem $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ bedeutet komplexe Konjugation, $\begin{eqnarray*} \overline z=x-\mathrm iy \end{eqnarray*}$ .

Setze das dann in die Gleichung ein.

03.01.2013, 21:26

frostkrieger

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RE: Komplexe Zahl in Normalform
also du meinst so:

z=2+3j

?

und dann soll ich das für Z in die gleichung einsetzen ?

03.01.2013, 21:29

Che Netzer

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RE: Komplexe Zahl in Normalform
Nein, ich meine es so, wie ich es geschrieben habe: $\begin{eqnarray*} z=x+\mathrm jx \end{eqnarray*}$ (meinetwegen mit $\begin{eqnarray*} \mathrm j \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \mathrm i \end{eqnarray*}$ ) und $\begin{eqnarray*} \overline z=x-\mathrm jy \end{eqnarray*}$ .
Die beiden Gleichungen sollst du in $\begin{eqnarray*} z^2+z\overline z=2+3\mathrm j \end{eqnarray*}$ einsetzen.

03.01.2013, 21:35

frostkrieger

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RE: Komplexe Zahl in Normalform
ähhm sry aber weis nicht wie dus meinst ^^

03.01.2013, 21:39

Che Netzer

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RE: Komplexe Zahl in Normalform
Naja, die zweite Gleichung sollte $\begin{eqnarray*} \overline z=x-\mathrm jy \end{eqnarray*}$ lauten, aber das war wahrscheinlich nicht das Problem. Du solltest aber in der Lage sein, mithilfe der Gleichungen
$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}\begin{align*}z&=x+\mathrm jy\\\overline z&=x-\mathrm jy\end{align*}\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$
Die Ausdrücke $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline z \end{eqnarray*}$ in der Gleichung $\begin{eqnarray*} z^2+z\overline z=2+3\mathrm j \end{eqnarray*}$ zu ersetzen.

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03.01.2013, 21:42

frostkrieger

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RE: Komplexe Zahl in Normalform
ahh ich glaube doch das dass ein Problem war ^^

also dann müsste es so aussehen

(x+jy)²+(x+jy)*(x-jy)=2+3j ?

03.01.2013, 21:45

Che Netzer

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RE: Komplexe Zahl in Normalform
Na gut, tut mir leid für den fehlenden Strich, habe ihn mittlerweile hineditiert.

Jetzt kannst du zwei binomische Formeln anwenden.

03.01.2013, 21:48

frostkrieger

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RE: Komplexe Zahl in Normalform
einmal bei dem Term mit dem quadrat und die anderen beiden terme ausmultiplizieren oder?

03.01.2013, 21:49

Che Netzer

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RE: Komplexe Zahl in Normalform
Ja, statt auszumultiplizieren kannst du aber auch die dritte binomische Formel benutzen.

03.01.2013, 21:51

frostkrieger

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also ich hab jetzt hier aufgeschrieben $\begin{eqnarray*} x²+2xjy+jy²+x²-jy²=2+3j \end{eqnarray*}$

03.01.2013, 21:53

Che Netzer

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Du hast an zwei Stellen vergessen, auch $\begin{eqnarray*} \mathrm j \end{eqnarray*}$ zu quadrieren.

03.01.2013, 21:55

frostkrieger

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$\begin{eqnarray*} x²+2xjy+j²y²+x²-j²y²=2+3j \end{eqnarray*}$ so richtig ? aber eigentlich ists doch wurscht ? wenn ich das weiter zusammenfasse dann fällts doch eh raus oder?

03.01.2013, 21:57

Che Netzer

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Die Begründung "ist doch wurscht, kommt eh dasselbe raus" ist aber nicht sehr präzise Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber ja, jetzt kannst du kürzen/zusammenfassen.

03.01.2013, 21:59

frostkrieger

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ok dann hab ich 2x²+2xjy = 2+3j

03.01.2013, 22:02

Che Netzer

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Jetzt kannst du einen Koeffizientenvergleich machen.

03.01.2013, 22:07

frostkrieger

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Big Laugh

wird ja richtig spannend die aufgabe ^^

ich hab kein plan ^^

also koeffizientenvergleich hab ich schonmal gehört aber wie ich das bei der aufgabe anwenden soll mhghhh....

03.01.2013, 22:08

Che Netzer

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Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn deren Real- und Imaginärteil übereinstimmen.

03.01.2013, 22:12

frostkrieger

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das ist mir klar aber ich hab ka wie ich nen koeffizientenvergleich mache ^^

03.01.2013, 22:14

Che Netzer

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Der Realteil ist ja auch eine Art Koeffizient, der Imaginärteil ebenso.
Du musst also Real- und Imaginärteil beider Seiten gleichsetzen.

03.01.2013, 22:19

frostkrieger

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also realteil ist 2x²-2 und der imaginärteil ist 2xjy-3j?

03.01.2013, 22:20

Che Netzer

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Zunächst einmal: Real- und Imaginärteil wovon?
Außerdem ist der Imaginärteil eine reelle Zahl, das $\begin{eqnarray*} \mathrm j \end{eqnarray*}$ hat da also nichts zu suchen.

03.01.2013, 22:27

frostkrieger

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mhhh ich verstehs nicht so ganz meinst du so?

2x²=2 v 2xjy=3j ? oder gehört das 2x vom imaginärteil zum realteil ?

03.01.2013, 22:31

Che Netzer

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Das sieht schon besser aus als vorher.

Es sollten aber beide Gleichungen gelten, d.h. "und" statt "oder".
Außerdem: Der Imaginärteil ist die reelle (!!) Zahl vor $\begin{eqnarray*} \mathrm j \end{eqnarray*}$ . Die Gleichung $\begin{eqnarray*} 2x^2=2 \end{eqnarray*}$ stimmt also schon, die Gleichung $\begin{eqnarray*} 2x\mathrm jy=3\mathrm j \end{eqnarray*}$ eigentlich auch, aber das auf den beiden Seiten stehen nicht die Imaginärteile.
Jetzt kannst du aber schon $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ bestimmen.

03.01.2013, 22:45

frostkrieger

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okay also dan müsste y=-2xj+3j sein und x=-2yj+3j ?

03.01.2013, 22:48

Che Netzer

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Was veranstaltest du denn da?
Woher kommen denn diese Gleichungen?

03.01.2013, 22:49

frostkrieger

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naja ich hab einmal nach x und einmal nach y aufgelöst oO beim imaginärteil

03.01.2013, 22:53

Che Netzer

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Nein, hast du nicht...
$\begin{eqnarray*} 2xy\mathrm j\neq 2x\mathrm j+y\,. \end{eqnarray*}$

Jedenfalls lauten die Gleichungen $\begin{eqnarray*} 2x^2=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2xy=3 \end{eqnarray*}$ , wenn man Real- und Imaginärteil beider Seiten vergleicht.
Ich wiederhole hier nämlich nochmal, dass das $\begin{eqnarray*} \mathrm j \end{eqnarray*}$ nicht in den Imaginärteil gehört: $\begin{eqnarray*} \operatorname{Im}(a+\mathrm jb)=b\neq\mathrm jb \end{eqnarray*}$ .

03.01.2013, 22:57

frostkrieger

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2xy=3 und 2x²=2 sind also die realteile ? dann hab ich dich bisschen missverstanden ?

03.01.2013, 23:00

Che Netzer

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Wahrscheinlich.
Wir haben bei $\begin{eqnarray*} 2x^2+2xy\mathrm j=2+3\mathrm j \end{eqnarray*}$ angefangen. Damit diese Gleichung gilt, müssen die Real- und Imaginärteile beider Seiten gleich sein:
$\begin{eqnarray*} 2x^2=\operatorname{Re}(2x^2+2xy\mathrm j)=\operatorname{Re}(2+3\mathrm j)=2 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} 2xy=\operatorname{Im}(2x^2+2xy\mathrm j)=\operatorname{Im}(2+3\mathrm j)=3\,. \end{eqnarray*}$

Gleichungen können keine Realteile sein.
Real- und Imaginärteile sind wie gesagt reelle Zahlen.

03.01.2013, 23:03

frostkrieger

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ja okay das hab ich verstanden, wie gehts weiter?

03.01.2013, 23:04

Che Netzer

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Löse das Gleichungssystem
$\begin{eqnarray*} 2x^2=2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 2xy=3 \end{eqnarray*}$ .

03.01.2013, 23:08

frostkrieger

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x=1 und y = 1,5

03.01.2013, 23:10

Che Netzer

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Das ist eine von zwei Lösungen.

03.01.2013, 23:12

frostkrieger

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maaaan xD

x1= 1 x2=-1?

y1=1,5 und y2= -1,5 ?

oder x2=1j und y2= 1,5 j ?

03.01.2013, 23:14

Che Netzer

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Und ich wiederhole mich nochmals:

Zitat:

Real- und Imaginärteile sind wie gesagt reelle Zahlen.

$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ sind ja gerade Real- und Imaginärteil von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ . Außerdem erfüllt $\begin{eqnarray*} x=\mathrm j \end{eqnarray*}$ die Gleichung überhaupt nicht.

Wie lauten nun also die beiden Lösungen für $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ?

03.01.2013, 23:19

frostkrieger

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ich weis nicht was ich machen soll um die 2. lsg zu bekommen ?

ist es vlt z= y/x ?

03.01.2013, 23:22

Che Netzer

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Du hast doch schon zwei Lösungen für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .
Und es ist keinesfalls $\begin{eqnarray*} z=\frac yx \end{eqnarray*}$ . Sieh dir dazu meinen letzten Beitrag an und suche nach der Stelle, an der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ eingeführt wurden.

03.01.2013, 23:29

frostkrieger

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hää also doch x1 = 1 und x2 = -1 und y= 1,5 und y2=-1,5

sry also ich versteh echt grad nicht was du meinst ^^

03.01.2013, 23:32

Che Netzer

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Wieso "doch"?

In welchem Zusammenhang stehen denn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ?

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