Projektive Ebene

03.01.2013, 22:59

rose-de-jaspe

Projektive Ebene

Meine Frage:
Wie rechnet man den Durchschnitt von 3 projektiven Ebenen aus in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} P^3 \end{eqnarray*}$
Ich hab gegeben:
$\begin{eqnarray*} E_1 = \{[ x_0: x_1 : x_2 : x_3] \in \mathbb{R} P^3 | x_0 + x_1 + x_2 + x_3 =0\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_2 = \{[ x_0: x_1 : x_2 : x_3] \in \mathbb{R} P^3 | x_0 - x_1 + x_2 - x_3 =0\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_3 = \{[ x_0: x_1 : x_2 : x_3] \in \mathbb{R} P^3 | x_0 + 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 =0\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Hallo
Stantdarteinbettung $\begin{eqnarray*} i: \mathbb{K}^n -> \mathbb{K} P^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x_1,.., x_n)^t -> [1 : x_1 :...: x_n] \end{eqnarray*}$

STimmt das dass ich die drei ebenen zuerst umrechnen muss auf affine Ebenen.
zB.:

$\begin{eqnarray*} i^{-1} (E_1)= \{ (x_1,.., x_k) \in \mathbb{K}^n | i(x_1,..,x_n) \in P\}=\{ (x_1,.., x_k) \in \mathbb{K}^n | 1 + x_1 + x_2 + x_3 =0\} \end{eqnarray*}$
dann sie schneiden und was herauskommt wieder transformieren aufs Projektive?

03.01.2013, 23:12

Che Netzer

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RE: Projektive Ebene
Irgendwie durchmischst du hier $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .
Die Idee hört sich etwas komisch an, nutze lieber $\begin{eqnarray*} P(U\cap V)=P(U)\cap P(V) \end{eqnarray*}$ .
Dafür brauchst du aber noch die Unterräume von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ , die die drei Ebenen erzeugen.
Oder aber du benutzt ganz normale Mengenlehre/Aussagenlogik.

Den affinen Raum zu betrachten, halte ich für weniger sinnvoll.

04.01.2013, 13:01

rose-de-jaspe

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Könntest du mir deine erste Idee vlt etwas genauer erklären?

Was ich machen wollte ist:
(etwas schönes aufgeschrieben ohne vertauschungen)
$\begin{eqnarray*} i : \mathbb{R}^3 -> \mathbb{K}P^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x_1, x_2, x_3)^t -> [1:x_1:x_2:x_3] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} i^{-1} (E_1)= =\{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 | 1 + x_1 + x_2 + x_3 =0\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} i^{-1} (E_2)= \{ (x_1x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 | 1 - x_1 + x_2 - x_3 =0\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} i^{-1} (E_3)= \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 | 1 + 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 =0\} \end{eqnarray*}$

Nun berechne ich das Gleichungssystem :
I 1 + x_1 + x_2 + x_3 =0
II 1 - x_1 + x_2 - x_3 =0
III 1 + 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 =0

erhalte $\begin{eqnarray*} x_1 = -1 , x_2 = -1 , x_3 =1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p = (-1, -1, 1)^t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} i (p)= [1:-1:-1:1] \end{eqnarray*}$
Was der Schnittpunkt wäre.

Da man die EInbettung aber verschieden wählen kann, kann der SChnittpunkt ja immer anders ausschauen. Also ob der SChnittpunkt im Affinen oder in der Ferne liegt hängt von der EInbetung i ab.

04.01.2013, 13:54

Che Netzer

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Ich sagte ja, diese Einbettung halte ich für keine gute Idee.

Alle drei Ebenen werden aber durch dreidimensionale Unterräume des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ erzeugt, die man fast ablesen kann.
Diese drei Räume kannst du jetzt schneiden, dann den projektiven Raum davon betrachten.
Wenn man z.B. die drei Unterräume $\begin{eqnarray*} U_i\subset\mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} i=1,2,3 \end{eqnarray*}$ , über $\begin{eqnarray*} P(U_i)=E_i \end{eqnarray*}$ definiert, benutzt du
$\begin{eqnarray*} E_1\cap E_2\cap E_3=P(U_1)\cap P(U_2)\cap P(U_3)=P(U_1\cap U_2\cap U_3)\,. \end{eqnarray*}$

04.01.2013, 14:03

rose-de-jaspe

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Hallo,
Aber ist meine Methode denn falsch??Oder wäre sie bei der abgabe richtig?

Ich verstehe nicht, wie man die dreidimensionalen Unterräume ablesen kann.

04.01.2013, 14:19

Che Netzer

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Mit deiner Methode bist du ja auf kein Ergebnis gekommen Augenzwinkern

Ich wüsste auch nicht, was diese Einbettung dann bringen sollte...

Und die Ebenen entstehen als Menge von $\begin{eqnarray*} [v] \end{eqnarray*}$ , wobei die $\begin{eqnarray*} v\in\mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ eine Bedingung erfüllen. Also in etwa: "Nimm die $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ , die ... genügen, bilde $\begin{eqnarray*} [v] \end{eqnarray*}$ und setze diese zur Ebene zusammen".
Wenn man jetzt nur diese $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ (und Null), nicht $\begin{eqnarray*} [v] \end{eqnarray*}$ betrachtet, hat man den gesuchten Unterraum, denn würde man dessen projektiven Raum betrachten, hätte man ja genau obige "Bildungsvorschrift".

04.01.2013, 14:53

rose-de-jaspe

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Na klar hab ich ein Ergbenis rausbekommen:
$\begin{eqnarray*} i (p)= [1:-1:-1:1] \end{eqnarray*}$
Steht doch in meinen Beitrag!!!!

Wir haben in der vo bei den Bsp nur mit der Einbettung gearbeitet, deshalb kenne ich nichts anderes! Ich wüsste auch nicht was daran falsch sein sollte?

E_1 :
$\begin{eqnarray*} v \in \mathbb{R}^4 : v_1 + v_2 + v_3 + v_4 =0 \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} v= (v_1, v_2, v_3 , -v_1 - v_2 - v_3) \end{eqnarray*}$

E_2 : $\begin{eqnarray*} v \in \mathbb{R}^4 : v_1 - v_2 + v_3 -v_4 =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v= (v_1, v_2, v_3 , v_1 - v_2 + v_3) \end{eqnarray*}$

E_3: $\begin{eqnarray*} v \in \mathbb{R}^4 : v_1 +2 v_2 + 3v_3 + 4v_4 =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v= (v_1, v_2, v_3 , (-v_1 - 2v_2 - 3v_3)/4) \end{eqnarray*}$

04.01.2013, 15:00

Che Netzer

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Ah, das Ergebnis habe ich gar nicht gesehen Ups

Na gut, so ginge das auch. Aber das ist fast "Glück", dass der Schnittpunkt dann bei deiner Wahl der affinen Koordinaten auch im affinen Raum lag.
Überhaupt finde ich es schöner, im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ zu rechnen.
Das läuft auf ein sehr ähnliches Gleichungssystem heraus, man erhält aber statt einer eindeutigen Lösung einen eindimensionalen Unterraum als Lösung, der dann der Schnittpunkt ist. Mit der Methode würde es immer klappen.

04.01.2013, 15:08

rose-de-jaspe

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Okay.Das war in der schule auch oft so, dass die lehrer die Methoden die ihnen nicht gefallen haben, manchmal übersehen haben^^

Trotzdem möchte ich deine Methode verstehen - was ich noch nicht tuhe.

Ich verstehe noch immer nicht ganz wie der Unterraum zu E_1 aussieht!
So?
$\begin{eqnarray*} U_1 =\{(v_1, v_2, v_3, v_4 ) \in \mathbb{R}^4:v_4= -v_1 - v_2 - v_3 \} \end{eqnarray*}$

04.01.2013, 15:10

Che Netzer

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Ja, genau.
Also einfach vorne die eckigen Klammern und das $\begin{eqnarray*} \mathrm P \end{eqnarray*}$ weglassen.
Jetzt ist $\begin{eqnarray*} E_1=P(U_1) \end{eqnarray*}$ .
Das gleiche machst du mit den anderen beiden Ebenen.

04.01.2013, 15:32

rose-de-jaspe

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$\begin{eqnarray*} U_1 =\{(v_1, v_2, v_3, v_4 ) \in \mathbb{R}^4:v_4= -v_1 - v_2 - v_3 \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} U_2 =\{(v_1, v_2, v_3, v_4 ) \in \mathbb{R}^4:v_4= v_1 - v_2 +v_3 \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} U_3 =\{(v_1, v_2, v_3, v_4 ) \in \mathbb{R}^4:4v_4= -v_1 +2v_2 - 3v_3 \} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun aber $\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 \cap U_3 \end{eqnarray*}$ bestimmen möchte habe ich 3 Gleichungen und 4 Unbekannte.

$\begin{eqnarray*} v_2=0 \end{eqnarray*}$ errechnet sich daraus.
und das system $\begin{eqnarray*} - v_1 - v_3 = v_4, - 2v_3 = 3 v_4 \end{eqnarray*}$ woraus ich $\begin{eqnarray*} - v_1 = 1/3 v_3 \end{eqnarray*}$ erhalte.

Ich wüsste nun nicht so ganz wie ich $\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 \cap U_3 \end{eqnarray*}$ aufschreiben sollte

04.01.2013, 15:36

Che Netzer

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Der Schnitt $\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 \cap U_3 \end{eqnarray*}$ besteht aus den Vektoren in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ , die ein bestimmtes lineares Gleichungssystem erfüllen.
Das ist also der Lösungsraum von
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&2&3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\\v_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\,. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_2=0 \end{eqnarray*}$ muss da aber nicht gelten, dein $\begin{eqnarray*} U_3 \end{eqnarray*}$ hat noch einen Vorzeichenfehler.

04.01.2013, 16:04

rose-de-jaspe

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Entschuldige.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&2&3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\\v_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\,. \end{eqnarray*}$
Gauß: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&0&0&-1\\0&1&0&1\\0&0&1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\\v_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\ \end{eqnarray*}$
-> $\begin{eqnarray*} v_1 - v_4 =0, v_2 + v_4=0, v_3 + v_4=0 \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} v_2 = v_3, v_1= - v_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 \cap U_3 = \{ (v_1, v_2, v_3, v_4) \in \mathbb{R}^4 : v_1=-v_2=-v_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P( U_1 \cap U_2 \cap U_3) = \{ [x_0: x_1: x_2:x_3] \in \mathbb{R} P^4 : x_0= -x_1=-x_2 \} \end{eqnarray*}$
Falsch?

04.01.2013, 16:13

Che Netzer

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Zitat:

Original von rose-de-jaspe
$\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 \cap U_3 = \{ (v_1, v_2, v_3, v_4) \in \mathbb{R}^4 : v_1=-v_2=-v_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P( U_1 \cap U_2 \cap U_3) = \{ [x_0: x_1: x_2:x_3] \in \mathbb{R} P^4 : x_0= -x_1=-x_2 \} \end{eqnarray*}$
Falsch?

Da oben fehlt noch ein $\begin{eqnarray*} =v_4 \end{eqnarray*}$ .
Dann kannst du $\begin{eqnarray*} U_1\cap U_2\cap U_3 \end{eqnarray*}$ noch als Spann eines Vektors schreiben bzw. $\begin{eqnarray*} P(U_1\cap U_2\cap U_3) \end{eqnarray*}$ explizit angeben.

04.01.2013, 16:24

rose-de-jaspe

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Ah okay

Ich danke dir sehr!

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