Unendliche Reihe

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achim2310 Auf diesen Beitrag antworten »
Unendliche Reihe
Hi,

Ich steh gerade total auf dem Schlauch, kann mir mal jemand helfen ? Konvergiert oder Divergiert die unendliche Reihe:
??
Ich find gerade irgendwie kein Mittel, das zu entscheiden..
Danke, achim2310
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke das Quotientenkriterium sollte zu einem Erfolg führen da
sin(1/k+1) < sin(1/k) für k gegen unendlich
 
 
achim2310 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das hab ich auch gedacht, aber bin ich da nicht in die typische Falle vom Quotientenkriterium getappt ?? Sin(1/x+1) / sin(1/x) ist zwar kleiner 1, aber konvergiert nicht sin(1/x+1) / sin(1/x) gg. 1 ?? Dann kann mans nämlich vergessen...
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe das problem, wen der GW = 1 ist kann man leider nix sagen
vieleicht mal clever minorisieren oder majorisieren.
achim2310 Auf diesen Beitrag antworten »

Womit wir bei der eigetnlichen Frage wären ;-). Mir will nämlich einfach keine Majorante /Minorante einfallen ...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Für x nahe 0 ist sin x ungefähr x (siehe Beginn der Taylorreihe von sin x).
Die Reihe wird also für k gegen Unendlich der harmonischen Reihe immer ähnlicher. Also: Divergenz!

Und wer diese oberflächliche Argumentation absichern will, benutze die Abschätzung sin x >= ½·x , die für genügend kleine x sicher richtig ist (der Sinusgraph ist konkav für positive x nahe 0).
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab mir schon fast gedacht das das mit der harmonsichen Reihe zusammenhängt, man darf nur nicht einfach so den sinus missachten.
Leider ist die harmonsiche Reihe nicht wirklich kleiner als sin(1/k) sonst hätte man ne sehr einfache abschätzung bekommen.


also man könnte so argumentieren



Da die harmonische Reihe divergent ist, ist sie insbesondere für alle
n >= k divergent. Da ab diesem k sinus(1/k) annähernd gleich ist folgt das auch sinus(1/k) divergent ist.

(ich bin mir nicht 100 pro sicher ob das legitim ist so zu argumentiern)
flixgott Auf diesen Beitrag antworten »

ist sin(1/k) eine null folge, weil 1/k eine ist?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

sin(1/k) für k -> unendlich ist nullfolge weil lim x-> 0 sinus(x) = 0 ist
Shopgirl Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo achim und Mazze,

Leopold hat bereits eine Abschätzung genannt, die zum Beweis ausreicht:
Für 0 < x <= 1 ist x/2 < sin(x) < x.
Damit ist 1/(2k) < sin(1/k) < 1/k für alle natürlichen Zahlen k.

Mazzes Ausdruck, dass die beiden Reihen "ähnlich" sind, bedeutet hier, dass sich die Partialsummenfolgen der beiden Reihen höchstens um einen konstanten Faktor unterscheiden:
Sei S(n) die Partialsumme von sin(1/k), H(n) die Partialsumme von 1/k. Dann ist H(n)/2 die Partialsumme von 1/(2k).
Unsere Ungleichung sagt uns, dass für jedes n gilt:
H(n)/2 < S(n) < H(n).
Damit haben wir S(n) eingeschlossen zwischen H(n)/2 und H(n), also ist S(n) divergent (und zwar genauso "schnell" wie H(n)).
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