Klassifikation von Faktorgruppen

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04.01.2013, 20:48	sbgstud	Auf diesen Beitrag antworten »
Klassifikation von Faktorgruppen Meine Frage: hallo leute , es geht um folgendes: man soll verschiedene Gruppen klassifizieren, beispielsweise: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> (\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_4) / <(0, 1)><br /> <br /> \end{eqnarray}$ , wobei <(0, 1)> die von (0, 1) erzeugte Gruppe ist. Auch andere Faktorgruppen dieser Form sollen mittels Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen klassifiziert werden. Meine Ideen: wüsste ich zum beispiel wie diese gruppen genau aussehen und welcher ordnung sie sind könnte ich den hauptsatz ja anwenden .... sonst wirds aber schwer mein Problem ist, ich kann schlichtweg mit den Gruppen nichts anfangen. Wäre toll wenn mir das jemand näherbringen könnte
05.01.2013, 13:56	Jack Prince	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin, wenn ich das richtig verstanden habe, dann möchtest du zeigen zu welcher abelschen Gruppe $\begin{eqnarray} G:=\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4 \ / \langle \ (0,1) \ \rangle \end{eqnarray}$ isomorph ist, und dabei den Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen anwenden. Naja gut. Die Ordnung von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ kannst du leicht mit dem Satz von Langrange rausbekommen, da die Ordnungen von $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \langle \ (0,1) \ \rangle \end{eqnarray}$ ersichtlich sind. Mit der erhaltenen Ordnung von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ weißt du dann schließlich zu welcher Gruppe $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ isomorph ist. Vielleicht als kleine Hilfe nochmal $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4= \Big\{ (x,y) \mid x\in \mathbb{Z}_2 \land y \in \mathbb{Z}_4 \Big\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \langle \ (0,1) \ \rangle = \bigcap_{\{ (0,1)\} \subseteq U \le \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4} U \stackrel{\textrm{da zyklisch}}= \Big\{ k \cdot (0,1) \mid k \in \{1,2,3,4\} \Big\}= \Big\{ (0,1),(0,2),(0,3),(0,4) \Big\} \end{eqnarray}$ und schließlich $\begin{eqnarray} G= \Big\{ (x,y) + \langle \ (0,1) \ \rangle \mid (x,y) \in \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4 \Big\} \end{eqnarray}$ LG
05.01.2013, 15:50	sbgstud	Auf diesen Beitrag antworten »
dann bestimme ich die ordnung für G als 8/4, also 2 ... und wenn ich mti dem hauptsatz nach allen abelschen gruppen suche kommt nur $\begin{eqnarray} \mathbb Z_2 \end{eqnarray}$ raus ... das muss sie dann sein .... was mach ich dann aber wenn ich nicht <(0, 1)> sondern <(0, 2)> oder <(1, 2)> habe die gruppen damit haben beide ordnung 4 und es gibt ja 2 abelsche gruppen der ordnung 4 ... wie entscheide ich dann welche welche ist?
05.01.2013, 16:25	Jack Prince	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz genau, es gibt bis auf Isomorphie nur eine bzw. uwei Gruppen der Ordnung 2 bzw. 4. Zur Ordnug 4: Welche beiden Gruppen sind das? Was kannst du im allgmeinen über die Struktur erzählen? Wenn dir das klar ist, dann musst du dir bloß deine speziellen Gruppen angegucken und vergleichen (bspw. die Ordnungen der Elemente LG
05.01.2013, 20:03	sbgstud	Auf diesen Beitrag antworten »
okay gut.. die elemente in der kleinschen 4er gruppe sind selbstinvers ... das muss ja dann auf eine der beiden zutreffen und auf die andere nicht ... und was mach ich wenn meine Gruppe unendliche ordnung hat ? weil zb eine der mengen nicht $\begin{eqnarray} \mathbb Z_2 \; sondern\; \mathbb Z \end{eqnarray}$ ist? dann kann ich ja wohl nicht mit endlichen ordnungen rechnen und den satz von lagrange etc garnicht benutzen
06.01.2013, 12:38	Jack Prince	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau, Da die Elemente aus $\begin{eqnarray} G:=\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4 \ / \langle \ (0,2) \ \rangle \end{eqnarray}$ alle Ordnung 2 haben, also insbesondere selbstinvers sind, erfolgt $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4 \ / \langle \ (0,2) \ \rangle \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray}$ . Die andere Gruppe mit vier Elementen wäre die zyklische Gruppe $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_4 \end{eqnarray}$ . Wenn deine Gruppe dazu isomorph sein sollte, müsste es ein Element der Ordnung 4 geben. Das war aber bei $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ nicht der Fall. Wenn du jetzt z.B. eine unendliche Gruppe dabei hast, dann kannst du auch Langrange benutzen; leider aber nicht so schön rechnen. Du weißt doch, dass wenn $\begin{eqnarray} U \le G \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathcal{R}:=\{Ug \mid g \in G \} \end{eqnarray}$ , so ist $\begin{eqnarray} G= \overset{\bullet}{\bigcup_{R \in \mathcal{R}}} R \end{eqnarray}$ . Also könntest du dir beispielsweise, wenn $\begin{eqnarray} G:=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2 \ / \langle \ (1,1) \ \rangle \end{eqnarray}$ , überlegen, dass $\begin{eqnarray} \| \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2 : \langle \ (1,1) \ \rangle \|=2 \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ 2 Elemente besitzt, sodass folglich $\begin{eqnarray} G \cong \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray}$ ist. LG
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06.01.2013, 13:05	sbgstud	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich das richtig verstanden habe müsste $\begin{eqnarray} \mathbb Z \times \mathbb Z_8 : <(3, 0)> \end{eqnarray}$ dann 8 elemente haben und isomoprh zu $\begin{eqnarray} \mathbb Z_8 \end{eqnarray}$ sein und $\begin{eqnarray} \mathbb Z \times \mathbb Z_8 : <(3, 3)> \end{eqnarray}$ auch 8 elemente haben und isomoprh zu $\begin{eqnarray} \mathbb Z_8 \end{eqnarray}$ sein und $\begin{eqnarray} \mathbb Z \times \mathbb Z : <(3, 0)> \end{eqnarray}$ unendlich viele elemente haben und isomoprh zu $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ sein oder hab ichs NOCH nicht verstanden?
06.01.2013, 14:29	Jack Prince	Auf diesen Beitrag antworten »
Vorweg noch ein paar Richtigstellungen: $\begin{eqnarray} \|\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_8 : \langle \ (3,0) \ \rangle\| \end{eqnarray}$ ist der Index von $\begin{eqnarray} \langle \ (3,0) \ \rangle \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_8 \end{eqnarray}$ , also die Anzahl der Nebenklassen von $\begin{eqnarray} \langle \ (3,0) \ \rangle \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_8 \end{eqnarray}$ . (also eine natürliche Zahl) $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_8 \ / \langle \ (3,0) \ \rangle \end{eqnarray}$ ist die Faktorgruppe, also die die Menge aller Nebenklassen von $\begin{eqnarray} \langle \ (3,0) \ \rangle \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_8 \end{eqnarray}$ . (also eine Gruppe für die gilt, dass die Mächtigkeit $\begin{eqnarray} \| \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_8 \ / \langle \ (3,0) \ \rangle \|= \|\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_8 : \langle \ (3,0) \ \rangle\| \end{eqnarray}$ . Außerdem gibt es 3 abelsche Gruppen der Ordnung 8, nämlich gerade $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_8 , \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4, \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray}$ . Du müsstest also noch überprüfen, um welche es sich genau handelt. Um die gesamte Aufgabe zu vereinfachen, versuch doch mal zu zeigen, dass wenn $\begin{eqnarray} U \le \mathbb{Z}_m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V \le \mathbb{Z}_n \end{eqnarray}$ , folgt $\begin{eqnarray} (\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n )\ / (U \times V )\cong \mathbb{Z}_m \ / U \times \mathbb{Z}_n \ / V \end{eqnarray}$ . Dabei kannst du auch anstelle von $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_m \end{eqnarray}$ die Gruppe $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ wählen. Wenn du das hast und dir zusätzlich noch überlegst, dass $\begin{eqnarray} \langle \ (3,0) \ \rangle= 3\mathbb{Z} \times \{0\} \end{eqnarray}$ , findest du leicht heraus, dass $\begin{eqnarray} \| (\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_8 ) \ / \langle \ (3,0) \ \rangle \|=24 \end{eqnarray}$ ist (Notfalls schreib dir nochmal alle Nebenklassen auf) . Von dem Punkt ist es dann nur noch ein Katzensprung herauszufinden, dass es sich um die zyklische Gruppe mit 24 Elementen handelt.
06.01.2013, 14:53	sbgstud	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ich versuch mir alle nebenklassen aufzuschreiben... aber ich komm vorn und hinten nicht auf 24 ... das mit der isomorphie müsste ich ja extra beweisen wieso 24 ? bin ich jez ganz dumm????
06.01.2013, 15:00	sbgstud	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ich denke jez wirds mir langsam klar ... $\begin{eqnarray} \{ (x, y) + 3 \mathbb Z \times \{0\}\| x \in \mathbb Z, y \in \mathbb Z_8 \} \end{eqnarray}$ und dann gibt es für x = 1, 2 und 3 jeweils 8 Elemente richtig ?
06.01.2013, 15:08	Jack Prince	Auf diesen Beitrag antworten »
gucken wir uns doch mal die Nebenklassen an, bei denen die Vertreter in der ersten Komponente eine 0 besitzen. $\begin{eqnarray} (0,0) +\langle \ (3,0) \ \rangle =\langle \ (3,0) \ \rangle \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (0,1) +\langle \ (3,0) \ \rangle \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (0,2) +\langle \ (3,0) \ \rangle \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (0,3) +\langle \ (3,0) \ \rangle \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (0,4) +\langle \ (3,0) \ \rangle \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (0,5) +\langle \ (3,0) \ \rangle \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (0,6) +\langle \ (3,0) \ \rangle \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (0,7) +\langle \ (3,0) \ \rangle \end{eqnarray}$ . Die sind alle unterschiedlich, da zwei Nebenklassen gleich sind genau dann, wenn die Differenz der beiden Vertreter in $\begin{eqnarray} \langle \ (3,0) \ \rangle \end{eqnarray}$ ist. Was haben wir: Für $\begin{eqnarray} k \neq l \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} (0,k)-(0,l) \in \langle \ (3,0) \ \rangle \end{eqnarray}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray} k=l \end{eqnarray}$ , was nicht geht. Daher sind alle 8 unterschiedlich. Was passiert jetzt, wenn man die Nebenklassen aufschreibt, bei denen die Vertreter in der ersten Komponente eine 1 oder eine 2 haben? Überleg dir, dass alle unterschiedlich sind. Zur Isomorphie: Zeige, dass $\begin{eqnarray} \varphi \colon \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n \longrightarrow \mathbb{Z}_m \ / U \times \mathbb{Z}_n \ / V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \varphi(x,y):=(x+U,y+V) \end{eqnarray}$ ein surjektiver Homomorphismus ist, sodass du den ersten Isomorphiesatz anwenden kannst. LG
06.01.2013, 15:14	sbgstud	Auf diesen Beitrag antworten »
mal sehen ... wenn ichs jez verstanden habe müsste es für beispielsweise $\begin{eqnarray} \mathbb Z \times \mathbb Z_8 / <(3, 3)> \end{eqnarray}$ 72 elemente geben oder hab ich immernochnicht den durchblick ?
06.01.2013, 15:14	Jack Prince	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau. Für x=3 ist das das gleiche wie meine angegebenen 8 Elemente. Versuch dir das noch mal mit der Isomorphie zu überlegen. Das vereinfacht die Aufgabe enorm. LG

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