Offene Mengen bezüglich Topologie

05.01.2013, 18:41

blutigerAnfänger

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Offene Mengen bezüglich Topologie

Meine Frage:
Wie kann die Offenheit einer Menge bezüglich einer Topologie zeigen. Eigentlich muss man nur die drei Axiome(endlicher Durchschnitt, beliebige Vereinigung,leere menge und ganze menge) nachweisen. Aber wie soll ich denn zeigen, dass zum Beispiel dass Intervall [0,1) auf [0,4) induzierter Topologie offen ist(wenn man die reellen Zahlen betrachtet), wenn ich die Offenheit bezüglich einer metrik nicht benutzen darf.

Meine Ideen:
Zeigt man bei einer Metrik die Offenheit einer menge, so muss man zeigen, dass für jedes x element m ein B(x,e) mit e elemtn R+ existiert. Bei einer Topologie müsste ich zeigen dass der Durchschnitt oder die Vereinigung auch wieder in der Topologie T liegt, aber da dreh ich mich doch im Kreis

05.01.2013, 18:46

zweiundvierzig

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RE: Offene Mengen bezüglich Topologie!

Zitat:

Original von blutigerAnfänger
Eigentlich muss man nur die drei Axiome(endlicher Durchschnitt, beliebige Vereinigung,leere menge und ganze menge) nachweisen.

Das sind die Kriterien für ein Mengensystem, eine Topologie zu sein, nicht für eine Menge offen zu sein!

Zitat:

Original von blutigerAnfänger
Zeigt man bei einer Metrik die Offenheit einer menge, so muss man zeigen, dass für jedes x element m ein B(x,e) mit e elemtn R+ existiert.

Man muss zeigen, dass eine solche passende Umgebung ganz in der Menge liegt.

Für Deine Aufgabe kannst Du die Definition der Teilraumtopologie auf $\begin{eqnarray*} [0,4) \end{eqnarray*}$ betrachten und damit zeigen, dass auch $\begin{eqnarray*} [0,1) \end{eqnarray*}$ Element der Teilraumtopologie ist.

05.01.2013, 22:36

blutigerAnfänger

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RE: Offene Mengen bezüglich Topologie!
aber wie sieht die Teilraumtopologie auf [0,4) denn aus

05.01.2013, 22:57

Leopold

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Ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ Teilmenge des topologischen Raumes $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ , so wird $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ durch die Definition

$\begin{eqnarray*} A \subseteq X \ \text{offen in} \ X \ \ : \Leftrightarrow \ \ \exists \, B \subseteq Y \ \text{offen in} \ Y \ \text{mit} \ \ A = X \cap B \end{eqnarray*}$

selber zu einem topologischen Raum. Man sagt: $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ trägt die (von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ induzierte) Spurtopologie oder Teilraumtopologie. Die offenen Mengen von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sind also gerade die Schnitte von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mit den offenen Mengen von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ .

Im Beispiel ist $\begin{eqnarray*} X = [0,4) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ (versehen mit der natürlichen Topologie). $\begin{eqnarray*} A = [0,1) \end{eqnarray*}$ ist offen in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , denn es gilt zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} A = X \cap \underbrace{(-\infty,1)}_{\text{offen in} \ \mathbb{R}} \end{eqnarray*}$

05.01.2013, 22:57

zweiundvierzig

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Das solltest Du aus der Vorlesung wissen:
$\begin{eqnarray*} \{ [0,4) \cap O \colon O ~ \text{offen in } ~ \mathbb R \} \end{eqnarray*}$

Edit: Leopold hat damit nun die Antwort geliefert.

06.01.2013, 14:15

blutigerAnfänger

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aber wieso ist denn das Intervall minus unendlich bis 1 ausgeschlossen offen in R

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06.01.2013, 19:20

Leopold

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Weil es zu jedem seiner Elemente eine $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung gibt, die ganz dem Intervall angehört. Wenn es dir nicht gefällt, dann nimm halt

$\begin{eqnarray*} A = X \cap (-2013,1) \end{eqnarray*}$

06.01.2013, 22:57

BlutigerAnfänger

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aber wenn du eine e-Umgebung wählst, dann argumentierst du doch mit der Metrik und nicht mit der Topologie. Ich verstehs irgendwie nicht weil wenn man nur die topologie hernimmt, dreht man sich doch im Kreis bei dem anderen von dir genannten Intervall, müsstest du doch wieder zeigen, dass es offen ist, indem du zeigst, dass es in der topolgie liegt, aber wie zeigt man, dass es in der Topologie liegt, wenn ich nicht weiß welche elemente drin liegen. Ich versteh des irgendwie nicht, weil wenn man doch nur mit der topologie argumentiert, dreht man sich doch im Kreis

06.01.2013, 23:01

blutigerAnfänger

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Man muss doch mit der Topologie zeigen, dass dieses Intervall offen ist, indem man zeigt, dass es in der Topologie liegt, oder nicht?
Häh tut mir leid ich verstehs einfach nicht!
Aber vielen Dank für die netten Antworten.

06.01.2013, 23:17

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Welche Topologie benutzt ihr denn auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ?

07.01.2013, 01:22

zweiundvierzig

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Die genannten Beweise laufen nicht über die Metrik (zumindest nicht explizit), sondern eben über die Teilraumtopologie.

Die euklidische Topologie $\begin{eqnarray*} \mathcal O \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ enthält u.a. alle offenen Intervalle. Die Teilraumtopologie $\begin{eqnarray*} \mathcal T \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [0,4) \end{eqnarray*}$ ist gegeben durch $\begin{eqnarray*} \mathcal T = \{ O \cap [0,4) \colon O \in \mathcal O \} \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} [0,1) = (-1,1) \cap [0,4) \end{eqnarray*}$ ist also $\begin{eqnarray*} [0,1) \in \mathcal T \end{eqnarray*}$ .

Leopold hat die Darstellung $\begin{eqnarray*} [0,1) = (-\infty,1) \cap [0,4) \end{eqnarray*}$ was genauso geht, denn $\begin{eqnarray*} (-\infty,1) \end{eqnarray*}$ ist genauso ein offenes Intervall im nominellen Sinne.

07.01.2013, 18:10

blutigerAnfänger

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Ich hab keine Ahnung, welche Topologie wir auf R verwenden.
Aber wieso ist denn (-1,1) offen nach der euklidischen Topologie. Ich dachte ein Intervall ist offen, wenn es in einer Topologie liegt. Aber wie zeig ich, dass es in einer Topologie liegt, wenn ich nicht weiß wie sie aussieht.
Und was meinst du mit offen im nominellen Sinne.
Angenommen ich habe ein Intervall auf R (-1,2) wie zeig ich dann, dass es bzgl einer Topologie offen ist.
Bitte helft ich verstehs einfach nicht.

07.01.2013, 19:37

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von blutigerAnfänger
Ich hab keine Ahnung, welche Topologie wir auf R verwenden.

Wie ich schon schrieb, verwenden wir die euklidische Topologie. Das ist immer gemeint, sofern nicht explizit anders angegeben.

Zitat:

Original von blutigerAnfänger
Aber wieso ist denn (-1,1) offen nach der euklidischen Topologie. Ich dachte ein Intervall ist offen, wenn es in einer Topologie liegt. Aber wie zeig ich, dass es in einer Topologie liegt, wenn ich nicht weiß wie sie aussieht.

Natürlich mussen wir für die Aufgabe wissen, wie die Topologie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ aussieht. Sonst könnten wir nämlich gar nichts beweisen. Es gibt verschiedene Arten, wie man die euklidische Topologie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ einführen kann, entweder metrisch (eine Menge ist offen, wenn es für jeden Punkt ein Intervall gibt, dass den Punkt enthält und ganz in der Menge liegt) oder über den Begriff der Basis. Beides läuft jedenfalls auf dasselbe hinaus. Sprich: wir wissen schon von vornherein, dass alle Mengen der form $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ tatsächlich auch offene Mengen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind.

Jetzt soll bewiesen werden, dass $\begin{eqnarray*} [0,1) \end{eqnarray*}$ offen in $\begin{eqnarray*} [0,4) \end{eqnarray*}$ ist. Metrisch könnte man argumentieren, dass für jedes $\begin{eqnarray*} x \in [0,1) \end{eqnarray*}$ eine Umgebung existiert, die ganz in $\begin{eqnarray*} [0,4) \end{eqnarray*}$ liegt.

Das soll man aber in der Aufgabe nicht machen, sondern eben nach der mengentheoretischen Definition der Teilraumtopologie vorgehen, wie wir bereits vorgerechnet haben. Denn hierbei sieht man auch besser, wie die Teilraumtopologie funktioniert. Der Weg über die Metrik sieht wie folgt aus: Für $\begin{eqnarray*} x \in (0,1) \end{eqnarray*}$ ist klar, dass man ein passendes Intervall $\begin{eqnarray*} (x-\varepsilon, x+\varepsilon) \in [0,1) \end{eqnarray*}$ findet. Für $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ hingegen liegt kein Intervall der Form $\begin{eqnarray*} (x-\varepsilon, x+\varepsilon) \end{eqnarray*}$ mehr in der Menge $\begin{eqnarray*} [0,1) \end{eqnarray*}$ . Aber es gilt $\begin{eqnarray*} x = 0 \in (-\varepsilon,+\varepsilon) \cap [0,1) = [0,\varepsilon) \end{eqnarray*}$ und ein solches "abgeschnittenes Intervall" ist zwar nicht offen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , aber offen in $\begin{eqnarray*} [0,4) \end{eqnarray*}$ bezüglich der Teilraumtopologie.

07.01.2013, 21:26

blutigerAnfänger

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ist eigentlich jede von einer metrik induzierten Topologie, wie die euklidische Topologie die Potenzmenge der R beim Beispiel der reellen Zahlen

07.01.2013, 22:22

RavenOnJ

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Die euklidische Topologie ist nicht die Potenzmenge. Wenn das nämlich so wäre, dann wäre jede Teilmenge von $\begin{align*} \mathbb R \end{align*}$ in dieser Topologie offen und geschlossen. Damit wäre beispielsweise jede Funktion $\begin{align*} \mathbb R\to\mathbb R \end{align*}$ stetig. Die Potenzmenge als Topologie ist viel zu fein, um sinnvoll zu sein.

07.01.2013, 23:31

blutigerAnfänger

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wie sind denn die euklidische topologie aus?

08.01.2013, 01:05

RavenOnJ

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Die euklidische Topologie wird von den $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ -Kugeln im entsprechenden metrischen Raum erzeugt.

08.01.2013, 01:19

zweiundvierzig

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@blutigerAnfänger: Nachfragen sind ja okay, dafür sind wir schließlich da. Aber vielleicht gehst Du auch mal konkreter auf die Postings ein? unglücklich

unglücklich

Deine letzte Frage hatte ich Dir bereits vorher beantwortet:

Zitat:

Original von zweiundvierzig
Es gibt verschiedene Arten, wie man die euklidische Topologie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ einführen kann, entweder metrisch (eine Menge ist offen, wenn es für jeden Punkt ein Intervall gibt, dass den Punkt enthält und ganz in der Menge liegt) oder über den Begriff der Basis.

RavenOnJ kann jedenfalls gerne ab hier weitermachen.

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