Reihe und Konvergenz 2

06.01.2013, 12:54

Chip2(theBest)

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Reihe und Konvergenz 2

Meine Frage:
Hallo leute ich habe noch bei einer weiteren Aufgabe probleme .

Entscheiden und begründen sie , ob die folgenden Reihen konvergieren und berechnen sie gegebenfalls deren Summe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}: \frac{1}{n+2} \end{eqnarray*}$

Soll ich jetzt wieder Majoranten Kriterium anwenden?

Bin wieder beim verzweifeln bei diesen Aufgaben.

Meine Ideen:
gepostet

06.01.2013, 13:07

Che Netzer

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RE: Reihe und Konvergenz 2
Sagt dir das "Trivialkriterium" etwas?

06.01.2013, 13:25

Chip2(theBest)

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Nein von diesem Kriterium hab ich nichts gehört.

Vielleicht nennen wir das anders?

06.01.2013, 13:29

Che Netzer

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Wahrscheinlich. Welche notwendigen Kriterien für die Konvergenz einer Reihe kennst du denn?

06.01.2013, 13:33

Chip2(theBest)

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Ich kenne eigentlich alle.

^Meinst du jetzt in unserem Fall harmonische reihe oder geometrische reihe?

06.01.2013, 13:35

Che Netzer

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Alle? Na gut, welches ist denn das einfachste?

Und ich meine beliebige Reihen. D.h. welche Anforderung an $\begin{eqnarray*} (a_n)_n \end{eqnarray*}$ muss erfüllt sein, damit $\begin{eqnarray*} \sum_na_n \end{eqnarray*}$ konvergieren kann?

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06.01.2013, 13:36

Chip2(theBest)

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Soll ich eine Majorante suchen?

06.01.2013, 13:38

Che Netzer

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Nein, das wäre schon ein hinreichendes Kriterium, dass eine konvergente Majorante existiert – aber kein notwendiges (!).

Das war wahrscheinlich eines der ersten Kriterien, die ihr überhaupt hattet.

06.01.2013, 13:45

Chip2

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Kannst du mir bisschen bescheiben was für ein gesetz ich anwenden soll?

06.01.2013, 13:47

Che Netzer

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Dann würde ich eigentlich schon die ganze Lösung verraten.

Liste hier doch also mal alle dir bekannten Kriteren auf, die notwendig für die Konvergenz einer Reihe sind.

06.01.2013, 13:54

Chip2(theBest)

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Soll ich eine minorante suchen?

06.01.2013, 13:56

Che Netzer

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Nein, du sollst alle notwendigen Kriterien für die Konvergenz einer Reihe aufschreiben, die in deinem Skript stehen.
Eine Minorante könntest du auch suchen, in diesem Fall geht es jedoch elementarer.

06.01.2013, 14:01

Chip2(theBest)

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Ich glaub du meinst die harmonische reihe oder?

06.01.2013, 14:03

Che Netzer

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Aha... Die harmonische Reihe ist also ein notwendiges Konvergenzkriterium?

Ich betone nochmals, dass du hier lieber keine Minorante suchen solltest. Es geht mit einem anderen Kriterium viel simpler und diese Methode solltest du auf jeden Fall beherrschen.

06.01.2013, 14:06

Chip2

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Ich glaub du musst es mir sagen welches Kriterium das ist, weil ich kenne dieses Trivialkriterium nicht.

Ah ich hab bei wiki ein wenig gelesen.

Meinst du damit ,das ich den lim n gegen unendlich laufen lassen soll?

06.01.2013, 14:09

Che Netzer

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Du sollst auch nicht bei Wikipedia nachsehen.

Also nochmal: Sieh dein Skript durch und schreibe alle Kriterien heraus, die notwendig für die Konvergenz einer Reihe sind.
Das habt ihr bestimmt besprochen!
Vermutlich ist es eines der ersten beiden.

Und was meinst du damit, "den lim n" gegen Unendlich laufen zu lassen?

06.01.2013, 14:11

Chip2

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Wenn ich das n gegen unendlich gehen lasse kommt 0 raus.

Also konvergiert das an.

Siehe wiki

06.01.2013, 14:13

Chip2

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Ich dachte das wäre das gesetz:??

Ist die Folge der Reihenglieder keine Nullfolge, divergiert die Reihe (notwendiges Konvergenzkriterium):

06.01.2013, 14:16

Che Netzer

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Zitat:

Original von Chip2
Ist die Folge der Reihenglieder keine Nullfolge, divergiert die Reihe (notwendiges Konvergenzkriterium):

Na bitte.
Das steht hoffentlich auch in eurem Skript.
Jetzt wende das mal auf die hier betrachtete Reihe an.

Zitat:

Wenn ich das n gegen unendlich gehen lasse kommt 0 raus.

Wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gegen Unendlich geht, kommt Unendlich heraus.
Vermutlich meinst du etwas wie $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n=0 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} \sum_na_n \end{eqnarray*}$ konvergiert.

06.01.2013, 14:22

Chip2

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Ist die Folge der Reihenglieder keine Nullfolge.

Wie untersuche ich das ?

06.01.2013, 14:34

Che Netzer

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Wir betrachten ja die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{n+2}n \end{eqnarray*}$ .
Und wir wollen das von dir endlich gefundene Kriterium anwenden.
Was müsste dann also gelten, wenn obige Reihe konvergieren würde?

06.01.2013, 14:36

Chip2

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Wenn für das an = 0 rauskommen würde , würde es konvergieren oder?

06.01.2013, 14:42

Che Netzer

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Ich nehme an, $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ bzw. "an" soll der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Summand sein.
Ja, wenn alle Summanden Null wäre, würde die Reihe konvergieren, dann hätten wir $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty0 \end{eqnarray*}$ . Das meinst du aber wohl nicht.

Vermutlich meinst du eher $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n=0 \end{eqnarray*}$ . Das ist aber kein hinreichendes, sondern ein notwendiges Kriterium.

Aber zurück zu unserem speziellen Fall der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{n+2}n \end{eqnarray*}$ .
Was müsste gelten, wenn diese (!) Reihe konvergieren würde?

06.01.2013, 14:43

Chip2

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Sie muss eine Majorante haben oder?

06.01.2013, 14:44

Chip2

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Sie muss eine Nullfolge sein?

06.01.2013, 14:49

Che Netzer

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Zitat:

Original von Chip2
Sie muss eine Nullfolge sein?

Das hört sich schonmal recht sinnvoll an.
Wenn $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{n+2}n \end{eqnarray*}$ konvergieren würde, WAS müsste dann eine Nullfolge sein?

06.01.2013, 14:56

Chip2

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Der komplette Bruch müsste 0 sein oder?

06.01.2013, 14:59

Che Netzer

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Ich rate mal, dass du mit dem "kompletten Bruch" $\begin{eqnarray*} \frac{n+2}n \end{eqnarray*}$ meinst.
Aber nein, der muss nicht Null sein (für welches $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ überhaupt?).

Sieh dir nochmal das Kriterium an:

Zitat:

Ist die Folge der Reihenglieder keine Nullfolge, divergiert die Reihe (notwendiges Konvergenzkriterium)

Und meine Formulierung:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n=0 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} \sum_na_n \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Außerdem beantwortet dein Beitrag in keiner Weise meine Frage:

Zitat:

Wenn $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{n+2}n \end{eqnarray*}$ konvergieren würde, WAS müsste dann eine Nullfolge sein?

06.01.2013, 15:09

Chip2

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Ich hätte gedacht das an muss einen Nulfolge sein ( kompletter Bruch )

Aber das scheint ja falsch zu sein .

Könnte es nicht sein das die Reihe überhaupt nicht konvergiert?

06.01.2013, 15:11

Che Netzer

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Zitat:

Original von Chip2
Ich hätte gedacht das an muss einen Nulfolge sein ( kompletter Bruch )

Wenn du mit $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ den Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{n+2}n \end{eqnarray*}$ meinst: Ja, nur dann könnte $\begin{eqnarray*} \sum_n\frac{n+2}n \end{eqnarray*}$ konvergieren.
Ist $\begin{eqnarray*} \left(\frac{n+2}n\right)_n \end{eqnarray*}$ denn eine Nullfolge?

Zitat:

Könnte es nicht sein das die Reihe überhaupt nicht konvergiert?

Mit notwenigen Kriterien kann man sowieso nur Divergenz zeigen...

06.01.2013, 15:14

Chip2

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Wenn ich das n gegen unendlich gehen lasse.

Dann wäre das unendlich /unendlich = unendlich ?

Dann würde die Reihe nicht konvergieren , sondern divergieren .

Richtig?

06.01.2013, 15:15

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Chip2
Wenn für das an = 0 rauskommen würde , würde es konvergieren oder?

Ich muss hier mal was korrigieren. Diese Aussage stimmt nicht. Z.B.: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ konvergiert nicht, obwohl $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist, also $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_n =0 \end{eqnarray*}$ .

Umgekehrt stimmt die Aussage: Wenn $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_k \end{eqnarray*}$ konvergiert, dann ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_n =0 \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt übertrag das mal auf deine Reihe: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k+2}{k} \end{eqnarray*}$

06.01.2013, 15:15

Che Netzer

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Über $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{n+2}n=\frac\infty\infty=\infty \end{eqnarray*}$ solltest du nochmal nachdenken...

Aber die Folgerung stimmt: Bilden die Summanden einer Reihe keine Nullfolge, divergiert die Reihe.
Jetzt musst du nur nochmal ordentlich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{n+2}n=0 \end{eqnarray*}$ nicht gelten kann.

06.01.2013, 15:21

Chip2

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Ich glaube ich habs:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } 1 + \frac{2}{n} =1 \end{eqnarray*}$

Also divergiert die Reihe.

Richtig?

06.01.2013, 15:22

Che Netzer

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Ja.

06.01.2013, 15:24

Chip2

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Die Summe muss ich doch jetzt nicht berechnen oder?

06.01.2013, 15:26

Che Netzer

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Musst du nicht, kannst du aber gerne machen, immerhin sind alle Summanden positiv und die Reihe divergiert – was kommt da wohl heraus?

06.01.2013, 15:27

Chip2

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Was muss man denn für n einsetzen um die Summe zu berechnen?

06.01.2013, 15:29

Che Netzer

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$\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist ein Laufindex, dafür setzt man nichts ein.

Was bedeutet denn aber Divergenz? Es scheint, als hättest du den Begriff noch gar nicht verstanden.

06.01.2013, 15:32

Chip2

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Divergenz bedeutet so etwas wie dass sie zwischen zwei Zahlen herumpspringt z.b -1 und 1 oder ?

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