Primitives Element einer Körpererweiterung

06.01.2013, 14:21

ChrisHeidi

Primitives Element einer Körpererweiterung

Meine Frage:

Sei $\begin{eqnarray*} c= e^{\frac{2\pi i}{5}} \end{eqnarray*}$ finden sie ein Primitives Element der Körpererweiterung $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \subset \mathbb Q(c,\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:

Sei $\begin{eqnarray*} L=\mathbb Q(c,\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$
Die Körpererweiterung ist endlich und seperable, weil es die Charakteristik 0 hat, demnach kann ich den Satz vom primitiven Element verwenden.
Demnach gilt $\begin{eqnarray*} L=\mathbb Q(a) \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} a \in L \end{eqnarray*}$
Das heißt ich muss ein Element aus L finden dessen Minimalpolynom den Grad 4 hat. Ist das soweit richtig?

Ich habe dann einfach mal die Linearkombination $\begin{eqnarray*} c+ \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ genommen und quadriert und habe dem zur folge

$\begin{eqnarray*} a^{2}=(c+\sqrt{5})^{2} \end{eqnarray*}$
Nach einigem umformen erhalte ich dann wenn ich mich nicht verrechnet habe
$\begin{eqnarray*} a^{4}-a^{2}(c^{2}-5+c^{4}+5c^{2}+25 \end{eqnarray*}$
Wenn es mit dieser Linearkombination arbeiten kann müsste ich ja nur noch zeigen dass es irreduzibel ist, aber wie mache ich das bei einem solchen Polynom?
Kann mir bitte jemand helfen und sagen ob ich zumindest es vom Ansatz her habe und wie ich weiter machen muss?

Vielen Dank!

edit tmo: Latex verbessert.

06.01.2013, 14:32

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Trick ist hier wohl eher zu sehen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \in \mathbb Q(c) \end{eqnarray*}$ liegt.

Allgemeiner gilt übrigens (kann man z.b. mit den Gausschen Summen zeigen): Der eindeutige Zwischenkörper vom Grad 2 der Körpererweiterung $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \subset \mathbb Q(c_p) \end{eqnarray*}$ - wo $\begin{eqnarray*} c_p \end{eqnarray*}$ p-te Einheitswurzel ist - ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{p}) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{-p}) \end{eqnarray*}$ . Das ist bei der Aufgabe aber nicht von Nöten. Nur eine kleine Verallgemeinerung.

06.01.2013, 14:34

ChrisHeidi

Auf diesen Beitrag antworten »

Am Anfang soll es heißen $\begin{eqnarray*} c \subset e^{\frac{2 \pi i}{5} } \end{eqnarray*}$

06.01.2013, 14:37

ChrisHeidi

Auf diesen Beitrag antworten »

Es muss natürlich ein Element sein Hammer

latex und ich werden wohl nie Freunde werden...

Durch die Änderung macht deine Antwort dann keinen Sinn mehr oder tmo? Un d wenn doch weiß ich wohl nicht was du meinst... Aber danke auf jeden Fall für die schnelle Antwort

06.01.2013, 14:40

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Doch doch. Mit $\begin{eqnarray*} c = e^{\frac{2 \pi i}{5}} \end{eqnarray*}$ (5te Einheitswurzel) gilt $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \in \mathbb Q(c) \end{eqnarray*}$ .

Berechne doch einfach mal $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ in der Form $\begin{eqnarray*} a+bi \end{eqnarray*}$ . Dann siehst du es.

06.01.2013, 15:18

ChrisHeidi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok also dann hab ich ja $\begin{eqnarray*} \cos(\frac{2\pi}{5} ) + i\sin(\frac{2\pi}{5} ) \end{eqnarray*}$
leider sehe ich es immer noch nicht ganz unglücklich

Ok wenn ich dann habe $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \in \mathbb Q(c) \end{eqnarray*}$ heißt das dann folgt doch daraus dass $\begin{eqnarray*} a=\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ oder? was ja nix anderes ist als $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{5})=\mathbb Q(c,\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$
Oder bin ich schon wieder aufem Holzweg?

06.01.2013, 15:26

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von ChrisHeidi
Ok also dann hab ich ja $\begin{eqnarray*} \cos(\frac{2\pi}{5} ) + i\sin(\frac{2\pi}{5} ) \end{eqnarray*}$
leider sehe ich es immer noch nicht ganz unglücklich

Du solltest das nun noch weiter ausrechnen. Die Ausdrücke kann man ja mit irgendwelchen verschachtelten Wurzeln schreiben.

Entweder bastelst du dir irgendwas mit den Additionstheoremen um das zu lösen.
Oder du löst die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^4+x^3+x^2+x+1 = 0 \end{eqnarray*}$ vermöge der Substitution $\begin{eqnarray*} u = x+\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von ChrisHeidi
was ja nix anderes ist als $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{5})=\mathbb Q(c,\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$

Wie soll das denn gehen? Vergleiche mal die Grade beider Körpererweiterungen. Die passen ja schon nicht.

Was kannst du denn über die Inklusion $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(c) \subset \mathbb Q(c, \sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ aussagen, wenn du die (von dir noch einzusehende) Erkenntnis $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \in \mathbb Q(c) \end{eqnarray*}$ hinzuziehst?

06.01.2013, 16:00

ChrisHeidi

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig diese Summe gilt ja für die Einheitswurzeln, also
$\begin{eqnarray*} x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0 [\latex] Das kann ich dann umformen und erhalte [latex] \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + 1 + x + x^{2} = 0 [\latex] Mit der Substitution ist das dann [latex] u^{2}} + u - 1 = 0 [\latex] Und davon die Nullstellen sind [latex] \frac{1}{2} (\sqrt{5}-1) [\latex] und [latex] \frac{1}{2} (-1- \sqrt{5})) [\latex] und somit Element von [latex] \mathbb Q(\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ oder?
Über den 2. Teil von dir mach ich mir jetzt weiter gedanken und schriebe gleich nochmal...

06.01.2013, 16:25

ChrisHeidi

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig diese Summe gilt ja für die Einheitswurzeln, also
$\begin{eqnarray*} x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0 \end{eqnarray*}$
Das kann ich dann umformen und erhalte
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + 1 + x + x^{2} = 0 \end{eqnarray*}$
Mit der Substitution ist das dann
$\begin{eqnarray*} u^{2} +u-1=0 \end{eqnarray*}$
Und davon die Nullstellen sind
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} (\sqrt{5} -1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} (-1- \sqrt{5})) \end{eqnarray*}$ und somit Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ oder?
Über den 2. Teil von dir mach ich mir jetzt weiter gedanken und schriebe gleich nochmal...

06.01.2013, 16:55

ChrisHeidi

Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir wirklich Leid (vielleicht hab ich auch en Brett vorm Kopf (oder sogar 2)) aber wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \in \mathbb Q(c) \end{eqnarray*}$
Dann heißt das doch dass ich mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(c) \end{eqnarray*}$ meine $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ erzeugen kann oder? Und dann müsste ich doch hiermit auch alle Vielfachen von $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ erzeugen können... Außerdem kann ich ja alle Vielfachen von c und jeweils Kombinationen erzeugen. Aber mehr kann ich doch auch nicht mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(c,\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ erzeugen... warum sind sie also nicht isomorph verwirrt

06.01.2013, 17:04

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu der Lösung der Gleichung: Du musst doch noch rücksubstituieren.

Zum letzten Post: Ja, das stimmt ja auch. Sie sind nicht nur isomorph sondern gleich. Das hast du aber vorher noch nicht gesehen gehabt.

06.01.2013, 17:27

ChrisHeidi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhh stimmt das muss ich noch machen...

Ich war wohl verwirrt weil ich den Post oben so gedeutet habe, dass die Aussage generell falsch wäre...

Ich dank dir vielmals tmo für deine Mühen und deine Geduld smile

06.01.2013, 17:29

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Nur nochmal zu Klärung:

Du hattest weiter oben folgendes behauptet:

Zitat:

Original von ChrisHeidi
was ja nix anderes ist als $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{5})=\mathbb Q(c,\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$

Das ist natürlich falsch.

Weiter unten hast du dann gesehen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(c) = \mathbb Q(c,\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ gilt. Das ist natürlich richtig.

06.01.2013, 17:41

ChrisHeidi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja richtig Hammer

Sollte aber jetzt alles klar sein Augenzwinkern

Ich halt bis morgen noch ein wenig Abstand zur Aufgabe und schau dann nochmal über den Beweis den ich gerade aufgeschrieben habe drüber sollte dann noch etwas unklar sein melde ich mich nochmal! DANKE und einen schönen Rest Sonntag Wink

Neue Frage »

Antworten »

Primitives Element einer Körpererweiterung

Verwandte Themen