Ring mit Eins - a*a=a

06.01.2013, 14:48

Blackbert

Ring mit Eins - a*a=a

Meine Frage:
Hallo,

leider macht mir diese Aufgabenstellung große Probleme. Ich bin mir sicher, dass die Lösung einfach ist, aber irgendwie hab ich eine Denkblockade. Hat jemand vielleicht einen Ansatz zur Lösung? Hab schon viel rumgerechnet, aber so richtig kommt nichts raus. Mir geht es vor allem darum, warum a+a=0 sein soll.

Gegeben ist ein beliebiger Ring (R,+,*) mit Eins und für alle Elemente a aus R gilt a*a=a.

Es soll nun gezeigt werden, dass a+a=0 ist und das R ein kommutativer Ring ist.

Gruß, Robert

Meine Ideen:
Erste Versuche brachten mir Gleichungen wie (a+1)*a = (a+a)*a, wobei mir das nicht viel zu helfen scheint.

06.01.2013, 14:59

lgrizu

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RE: Ring mit Eins - a*a=a
Setze a=p+q und berechne a²....

06.01.2013, 14:59

Mulder

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RE: Ring mit Eins - a*a=a
Zu a+a=0:

$\begin{eqnarray*} a+a = (a+a)(a+a) = ... \end{eqnarray*}$

Rechne nun mal weiter (ausmultiplizieren!).

Bei der Kommutativität kannst du ähnlich ansetzen.

06.01.2013, 15:10

Blackbert

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RE: Ring mit Eins - a*a=a
Hallo,

danke für die schnelle Hilfe!

@Mulder: Das war dann wohl der entscheidende Hinweis:

$\begin{eqnarray*} a + a = (a + a) \cdot (a + a) = aa + aa + aa + aa = (a + a) + (a + a) \end{eqnarray*}$
Von rechts mit $\begin{eqnarray*} (a + a)^{-1} \end{eqnarray*}$ addieren liefert dann
$\begin{eqnarray*} 0_R = a+ a \end{eqnarray*}$

Zur Kommutativität werde ich mir erstmal selbst ein paar Gedanken machen.

Gruß, Robert

06.01.2013, 15:19

Mulder

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RE: Ring mit Eins - a*a=a

Zitat:

Original von Blackbert
Von rechts mit $\begin{eqnarray*} (a + a)^{-1} \end{eqnarray*}$ addieren liefert dann

Für das additiv Inverse in einem Ring schreibt man wohl besser $\begin{eqnarray*} -(a+a) \end{eqnarray*}$ . Denn $\begin{eqnarray*} (a+a)^{-1} \end{eqnarray*}$ ist ja eher für das multiplikativ Inverse reserviert (sofern es existiert, das ist in einem Ring ja alles andere als selbstverständlich). Zumindest üblicherweise. Augenzwinkern

06.01.2013, 15:20

Mystic

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RE: Ring mit Eins - a*a=a

Zitat:

Original von Blackbert
$\begin{eqnarray*} a + a = (a + a) \cdot (a + a) = aa + aa + aa + aa = (a + a) + (a + a) \end{eqnarray*}$
Von rechts mit $\begin{eqnarray*} (a + a)^{-1} \end{eqnarray*}$ addieren liefert dann
$\begin{eqnarray*} 0_R = a+ a \end{eqnarray*}$

Irgendwas scheinst du da zu verwechseln, denn $\begin{eqnarray*} (a + a)^{-1} \end{eqnarray*}$ existiert i.allg. ja gar nicht, geschweige denn, dass eine beidseitige Addition dein Ergebnis liefert... geschockt

Edit: Zu spät... unglücklich

06.01.2013, 15:23

Blackbert

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RE: Ring mit Eins - a*a=a
Hallo,

da habt ihr wohl Recht Augenzwinkern

War ein kleines, syntaktisches Unglück...

Gruß, Robert

06.01.2013, 15:30

Blackbert

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RE: Ring mit Eins - a*a=a

Zitat:

Original von Mystic

Zitat:

Edit: Zu spät... unglücklich

Warum liefert die beidseitige Addition nicht das gewünschte Ergebnis? Es ist nur $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ definiert. Eine Subtraktion in dem Sinne gibt es hier eigentlich nicht. Das additiv Inverse zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist (wie hier schon richtig gestellt wurde) $\begin{eqnarray*} -a \end{eqnarray*}$ , wobei das nur eine symbolische Schreibweise ist. Insofern ist die Addition auf beiden Seiten nach meinem Verständnis korrekt.

Gruß, Robert

06.01.2013, 15:38

Mystic

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RE: Ring mit Eins - a*a=a

Zitat:

Original von Blackbert
Warum liefert die beidseitige Addition nicht das gewünschte Ergebnis? Es ist nur $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ definiert. Eine Subtraktion in dem Sinne gibt es hier eigentlich nicht. Das additiv Inverse zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist (wie hier schon richtig gestellt wurde) $\begin{eqnarray*} -a \end{eqnarray*}$ , wobei das nur eine symbolische Schreibweise ist. Insofern ist die Addition auf beiden Seiten nach meinem Verständnis korrekt.

Da kann ich dich nur mit deinem eigenen Posting konfrontieren, welches erschöpfend Antwort gibt:

Zitat:

Original von Blackbert
da habt ihr wohl Recht Augenzwinkern

War ein kleines, syntaktisches Unglück...

M.a.W., du hast additive und multiplikative Inverse vertauscht, zumindestens was die Bezeichnungen betrifft, mit multplikativen Inversen kann das aber nicht funktionieren (s.o.)... geschockt

06.01.2013, 16:18

Blackbert

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RE: Ring mit Eins - a*a=a
Das sind wir uns also einig smile

Werde mich in Zukunft bemühen...

06.01.2013, 16:40

URL

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RE: Ring mit Eins - a*a=a
Kann mir bitte jemand vom Schlauch helfen: Warum gilt $\begin{eqnarray*} a+a = (a+a)(a+a) \end{eqnarray*}$

06.01.2013, 16:59

Mulder

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RE: Ring mit Eins - a*a=a

Zitat:

Original von URL
Kann mir bitte jemand vom Schlauch helfen: Warum gilt $\begin{eqnarray*} a+a = (a+a)(a+a) \end{eqnarray*}$

Weil's in der Aufgabenstellung vorausgesetzt wird.

06.01.2013, 17:08

URL

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RE: Ring mit Eins - a*a=a
Ah, das ist für alle Elemente vorausgesetzt. Danke. Bitte um Entschuldigung für die blöde Frage.
Lesen würde helfen Forum Kloppe

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Ring mit Eins - a*a=a

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