Lösung in Parameterdarstellung

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06.01.2013, 15:06	Angel92	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung in Parameterdarstellung Hallo, ich habe ein LGS und soll die Lösungsmenge in Parameterdarstellung angeben. Auf Dreiecksmatrix gebracht, sieht das LGS so aus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 7 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Und gelöst so: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Kann mir bitte jemand erklären, wie ich die Läsungmenge in Paramterdarstellung angebe?
06.01.2013, 19:57	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Da das Lösungs 5-tupel (3; 4; 2; 1; 0) lautet und eindeutig ist, gibt es in diesem Fall auch keine Parameterdarstellung. Eine solche ergibt sich dann, wenn das System abhängig ist, also mindestens eine Nullzeile enthält. Denn in diesem Fall gibt es weniger Gleichungen als Unbekannte, somit gegebenenfalls unendlich viele Lösungen und daher bei der Erstellung der Lösungsmenge sogenannte Freiheitsgrade. Diese deckt man so ab, dass eine geeignete Variable mit einem Parameterausdruck belegt wird und so die Lösungsmenge (auch bei allen anderen Variablen) in diesem Parameter ausgedrückt wird. Beispielsweise wäre (bei einer Nullzeile) eine solche Parameterlösung X = (1+t; 2-3t; - 4+5t; 3; 2t); vektoriell geschrieben $\begin{eqnarray} \vec X = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bei Auftreten mehrerer Nullzeilen sind auch entsprechend mehr Parameter einzuführen. mY+
06.01.2013, 20:02	Angel92	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung in Parameterdarstellung Hoppala, oben ist die falsche Matrix. Hier die Richtige: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 & 2 & 1 \\ 0 & -7 & 13 & -5 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Also. Da ich auf eine Nullzeile komme, hat das LGS keine eindeutige Lösung, sondern unendlich viele. Richtig? Hab gelesen, dass man in dem Fall eine Variable als Paramter setzt und dann kann ich die Lösung mittels Parameterdarstellung angeben. Kann mir bitte jemand erklären wie das geht?
06.01.2013, 20:41	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Steht alles oben, dort kannst du das auch lesen ... Bitte mache mal damit einen entsprechenden Ansatz!
06.01.2013, 21:01	Angel92	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay. Ich habe aber keine Ahnung ob ich das richtig mache... Ich habe für $\begin{eqnarray} $x_4 = 2$ \end{eqnarray}$ als Parameter angenommen. Und das dann von unten nach oben eingesetzt. Dann weiter eingesetzt $\begin{eqnarray} $x_3 \cdot 1 + 0\cdot 2 \ \rightarrow x_3 = 0 \\<br /> <br /> -7 \cdot x_2 + 13 \cdot 0 -5 \cdot 2 = -2 \rightarrow -7x_2 = 7 \\<br /> x_2 = 1 \\<br /> <br /> 1 \cdot x_1 + 2 \cdot 1 - 4 \cdot 0 + 2\cdot 2 = 1 \\<br /> x_1 = -5$ \end{eqnarray}$ Stimmt das bis hierhin? Ich weiß jetzt aber nicht, wie ich das in Paramterdarstellung zeige.
06.01.2013, 21:30	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
2 ist kein Parameter, denn 2 ist doch eine feste Zahl. Der Parameter muss ebenso variabel sein. Setze also z.B. x4 = t. In Hinblick auf eine ganzzahlige Parameterdarstellung kannst du ein wenig experimentieren, denn es besteht ja Wahlfreiheit* bei der Erstellung des Parametertermes. Gut geht es mit x4 = 7t + 2 (die 7 sind wegen der 7 im Nenner bei x2 gewählt, dann kann man kürzen ..), aber auch mit x2 = 1 + 5t kommt man gut weiter. Die einzige Variable, welche NICHT mit einem Parameter belegt werden kann, ist x3, denn dieses ist nämlich zwingend gleich Null. (*) Anmerkung: Es gibt unendlich viele Parameterdarstellungen ein und derselben Lösungsmenge! mY+
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06.01.2013, 22:00	Angel92	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so. Okay. Ich weiß, dass ich man mit den Parametern freie Wahl hat. Aber kannst du mir zeigen, wie die Darstellung der Lösungsmenge in Parameterdarstellung aussieht, also was ich explizit schreiben muss, wenn ich für $\begin{eqnarray} $x_4 = 7t + 2 $ \end{eqnarray}$ annehme?
06.01.2013, 22:16	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, damit die anderen Unbekannten x1 und x2 berechnen, x3 = 0 steht ja bereits fest. Somit ist mit dem System $\begin{eqnarray} x_1 + 2x_2 + 2x_4 = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 7x_2 - 5x_4 = -3 \end{eqnarray}$ ---------------------------- weiter zu rechnen. Wenn du in der 2. Gleichung für $\begin{eqnarray} x_4 = 2 + 7t \end{eqnarray}$ einsetzst, folgt daraus sofort x2 (durch 7 ist zu kürzen --> 1 + 5t) und aus der 1. Gleichung schließlich x1. Schreibe dann die endgültige Lösung wie gezeigt in Vektorform! mY+
07.01.2013, 10:59	Angel92	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, wir haben also bis jetzt $\begin{eqnarray} $x_4 = 7t + 2 \\<br /> x_3 = 0 \\<br /> x_2 = 1 + 5t$ \end{eqnarray}$ Wenn ich das in Gleichung 1 einsetze, ergibt sich $\begin{eqnarray} $x_1 + 2\cdot (1+5t) + 2 \cdot (7t + 2) \\<br /> = x_1 + 2 + 10t + 14t +4 = 1 \\<br /> x_1 = -24t -5$ \end{eqnarray}$ und in Vektordarstellung $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} -24 \\ 5 \\ 0 \\ 7\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ??
07.01.2013, 15:23	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Traust du dir selbst nicht? Trotz der beiden Fragezeichen - es stimmt alles so! mY+
07.01.2013, 15:51	Angel92	Auf diesen Beitrag antworten »
Yippie yeah! Supi, freut mich. Ich hätte noch eine letzte Frage bezüglich dieses Themas. Hab noch ein weiteres LGS und es mittels Gauß versucht auf Dreiecksform zu bringen. Dabei kam folgendes raus: $\begin{eqnarray} $ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ \end{eqnarray}$ Selbst wenn ich als $\begin{eqnarray} $x_3$ \end{eqnarray}$ in der 3. oder 4.Zeile einen Paramter setze, wird das doch nix, da 0 = 1 eine falsche Aussage ist. Ist dies also ein LGS, welches keine Lösung besitzt?
07.01.2013, 15:56	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die 4. Zeile ist eine Nullzeile, dort ist überhaupt kein Parameter zu setzen. Aus der 3. Zeile folgt, dass x4 feststeht, also ist x4 ebenfalls nicht in Parameterform darstellbar. Wo ist eigentlich die rechte Seite des Gleichungssystemes? Erst damit kann über die Existenz von Lösungen entschieden werden (!). Bitte die Aufgaben IMMER vollständig posten, sonst geht die Hilfe daneben oder es muss geraten werden, das ist kontraproduktiv. EDIT: Der Rate-Onkel meint, es könnte eventuell das System in 3 Variablen vorliegen (die letzte Spalte enthält die Konstanten), damit ist die 4. Zeile, welche ohnehin eine Nullzeile ist, obsolet. Ist es so? mY+
07.01.2013, 16:06	Angel92	Auf diesen Beitrag antworten »
Denke schon. Ich hatte das im Formeleditor nicht gefunden. Mach es mal provisorisch. $\begin{eqnarray} $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 &\| 1 \\ 0 & -3 & -1 & \| -2 \\ 0 & 0 & 0 & \| 1 \\ 0 & 0 & 0 & \| 0 \end{pmatrix} $ \end{eqnarray}$ . Also die letzte Spalte sollen die Konstanten sein. Was heißt obsolet in dem Fall?
07.01.2013, 16:21	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Obsolet = Entbehrlich, überflüssig ____________ Hier enthält die 3. Zeile einen Widerspruch, denn $\begin{eqnarray} 0 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + 0 \cdot x_3 = 1 \end{eqnarray}$ kann niemals (für keine $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ ) erfüllt sein. In diesem Fall wird nicht mehr weiter gerechnet, denn das System hat KEINE Lösung. mY+
07.01.2013, 16:31	Angel92	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hört sich klasse an! Ich bedanke mich vielmals für deine geduldige Hilfe. Hast mir wirklich kompetent weiter geholfen.

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