Matrizen und Ränge

06.01.2013, 15:32	mathe_maed'l	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizen und Ränge Meine Frage: Hallo. Ich habe mich an folgenden Aufgaben versucht und bezweifle das meine Lösungswege bzw. -ansätze richtig sind. 1) Sei $\begin{eqnarray} A\in K ^{m,n} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} U=\left\{ x\in K^n/ Ax=0\right\} \end{eqnarray}$ ein lin. Unterraum von $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ ist und $\begin{eqnarray} dim U=n-RangA \end{eqnarray}$ gilt. 2) Seien $\begin{eqnarray} A\in K ^{l,m} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B\in K ^{m,n} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass dan $\begin{eqnarray} Rang A + Rang B \leq m+Rang (AB) \end{eqnarray}$ gilt. 3) Sei $\begin{eqnarray} f: K ^{n} \rightarrow K^n \end{eqnarray}$ eine lin. Abb. und $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ die Matrix von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bzgl. der Basis $\begin{eqnarray} B=(b_1, ..., b_n) \end{eqnarray}$ . Was ist dann die Matrix von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bzgl. der Basis $\begin{eqnarray} C=(c_1, ..., c_n) \end{eqnarray}$ ? Meine Ideen: Zu ... 1) Ich habe mir da überlegt, das die Grundform eigentlich Ax=b ist. Sprich in dieser Aufgabe ist b=0. Damit ist $\begin{eqnarray} b \in K^m \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} 0 \in K^m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A \in K^{m,n} \end{eqnarray}$ . Also ist auch x=0 und $\begin{eqnarray} x \in K^n \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} 0 \in K^n \end{eqnarray}$ . Heißt also, dass der Nullvektor in U liegt, da die Lösungsmenge nicht leer ist: $\begin{eqnarray} U\neq \emptyset \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_j =0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \alpha \in K \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x,y \in U \end{eqnarray}$ , dann gilt: $\begin{eqnarray} x+y , \alpha x \in U \end{eqnarray}$ , da: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}(x_j + y_j)=\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} x_j + \sum\limits_{j=1}^n a_{ij} y_j=0+0=0\alpha \in K \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}(\alpha x_j )=\alpha \sum\limits_{j=1}^n a_{ij} x_j = a0=0 \end{eqnarray}$ ist U ein Unterraum. $\begin{eqnarray} f: K ^{n} \rightarrow K^m \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix} \mapsto \sum\limits_{j=1}^n x_j y_j \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Kern&f = U , Bild&f = Rang A = Lin (y_1, ..., y_n) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} dim U = dim Kern&f = dim K^n - dim Bild&f = n - dim Lin (y_1, ..., y_n)= n-dim Rang A \end{eqnarray*}$ 2) Damit komme ich irgendwie noch nicht so klar, weil ich nicht weiß wie ich mit dem m umgehen soll ... 3) Da hätte ich jetzt gedacht, dass die Matrix A sich aus B zusammensetzt. Damit wäre das A dann bzgl. C eine neue Matrix, z.B. D. Wäre nett, wenn ihr mir sagen könntet, ob ich mit meiner Vermutung (dass die Lösungsansätze nicht stimmen)richtig liege und mir weiter helfen könntet. Danke schonmal.
07.01.2013, 14:29	mathe_maed'l	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen und Ränge Hm ... kann mir keine helfen?
13.01.2013, 13:05	mathe_maed'l	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen und Ränge Also ich hab mich nochmal dran versucht ... vergebens. Bei drittens weiß ich noch, dass ich ungefähr so einen Weg wählen muss: $\begin{eqnarray} C \nearrow M_B^C \nearrow M_C^B \nearrow C \end{eqnarray}$ allerdings muss da noch die Matrix A irgendwie rein. Hoffe mir kann vll doch noch jmd helfen ...
13.01.2013, 18:12	SmiggoMortensen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich kann dir leider keine Lösung anbieten. Das liegt wohl daran, dass ich an exakt denselben Aufgaben zu knabbern habe, was möglicherweise bedeuten könnte, dass wir in derselben Vorlesung sitzen. Ich kann aber einfach mal meine Ansätze weitergeben, vielleicht fällt dir dazu was ein oder du verwirfst sie als schwachsinnig. Zu 1). Der Unterraum sieht meines Erachtens nach gut aus. Ich hab versucht, die Matrix als lin.Abb. aufzufassen und mir die Homomorphie zunutze gemacht, hoffe, dass das geht. Teil 2: Mein Ansatz kommt dem etwa gleich. Da prüfe ich gerade was, dazu also gleich vielleicht mehr. 2). Genauso unbeholfen wie du, wenn nicht sogar etwas mehr. 3). Muss irgendwie nach der Transformation der Matrix bei Basiswechsel funktionieren. FÜr den Endomorphiespezialfall, den wir hier haben, können wir für die Basen B,C eine Übergangsmatrix S mit (B^-1)C annehmen. Dann müsste man das in K^n anwenden, um die Basen auszutauschen und danach die Matrix A anwenden, um die neue zu erhalten. Wie das genau aussieht, weiß ich aber auch noch nicht. Entschuldige bitte den vielen Text, aber ich habe weder Latex noch Ahnung. Hoffe, irgendjemand hat wesentlich mehr Ahnung hiervon. lg
13.01.2013, 18:48	mathe_maed'l	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Leidensgenosse ... Zu 2) Hast du eine Idee, wofür das "m" steht? Sind das die Zeilen oder Spalten oder was ganz anderes, wie z.B. "min."? Und ist Rang(AB) = Rang (A+B)? Zu 3) Kann das sein, wenn A' die Matrix von C ist, dass dann gilt: $\begin{eqnarray} A'=S^-1AS \end{eqnarray}$ oder funktionert das nicht? P.S. Das LaTex ist Gewöhnungssache, aber es erleichtert den Helfenden, die Probleme zu verstehen.
13.01.2013, 19:05	SmiggoMortensen	Auf diesen Beitrag antworten »
Leiden trifft es ganz gut, denke ich...=) 2). m muss mit den Matrizen zu tun haben, denn die sind ja Elemente von K^l,m bzw. K^m,n. Da das der Punkt ist, in dem sie übereinstimmen und durch den auch das Produkt dieser beiden Matrizen definiert ist, wird es wohl dieses m sein. Wie ich es hier aufzufassen habe, weiß ich nicht. Könnte Rang (AB) der Rang des Produktes der Matrix sein? Gibt es so etwas? 3). In die Richtung dürfte es gehen, aber irgendwas hat da in meinen Überlegungen immer gehakt.
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13.01.2013, 21:17	mathe_maed'l	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, ich hab nochmal mit jemanden geredet bzw. geschrieben. Und zwar: 2) Da muss man so rangehen, das man sagt, welches "Maximum" jeweild Rang A,B, AB annehmen kann (also: l,m,l,) und dann muss man wohl noch sagen, was sonst Rang A,B,AB = ist. Und dann das für die zu zeigende Gleichung einsetzen und gucken ob das stimmt. Also: Rang A -> max. l (wenn, l.u.), sonst (1) Rang A=m Rang B -> max. m (wenn, l.u.), sonst (2) Rang B=n Rang AB -> max. l (wenn, l.u.) Jetzt halt gucken: gilt die Gleichung, wenn ich Max., wenn ich (1), wenn ich (2) und wenn ich (1) und (2) einsetze. 3) Da scheint wohl unsere Überlegung zu stimmen. Ich geb dir keine Garantie dafür, aber ich hoffe trotzdem das dir das hilft und das es auch stimmt.
14.01.2013, 19:16	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 1) die Unterraumeigenschaften kann man zeigen, wie mathe_maed'l das gemacht hat oder sich auf die Linearität berufen wie SmiggoMortensen vorgeschlagen hat. Beides ist richtig, wobei die Methode von SmiggoMortensen den Vorteil hat, für jede lineare Abbildung zu gelten. zu 2) Eine Idee für den Beweis ist folgende: Betrachte die Einschränkung der Abbildung $\begin{eqnarray} A:\mathbb{K}^m\to\mathbb{K}^l \end{eqnarray}$ auf den Unterraum Bild(B), d.h. $\begin{eqnarray} \tilde{A}:Bild(B)\to \mathbb{K}^l, x\mapsto Ax \end{eqnarray}$ Die Rangformel angewandt auf $\begin{eqnarray} \tilde{A} \end{eqnarray}$ zeigt dann $\begin{eqnarray} Rang(B)=\dim Bild(B)=\dim Kern(\tilde{A})+\dim Bild(\tilde{A}) \end{eqnarray}$ . Jetzt überlegt man sich, dass $\begin{eqnarray} Kern(\tilde{A})\subset Kern(A) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Bild(\tilde{A})=Bild(AB) \end{eqnarray}$ und ist schon fast fertig

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