Homomorphiesatz

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Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
Homomorphiesatz
Hi,
Ich möchte den Homomorphiesatz beweisen. Die Existenz von ist klar, denn .

Aber bei der Existenz komme ich nicht weiter. Offensichtlich ist G/N eine Gruppe und G' ist ja als Gruppe definiert...
Aber warum ist, weiß ich nicht, also warum einer Exitiert, der die Bedungungen mit der Konposition etc. erfüllt, weiß ich nicht.
Könntet ihr mir helfen?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphiesatz
Zitat:
Original von Monoid
Hi,
Ich möchte den Homomorphiesatz beweisen. Die Existenz von ist klar, denn .

Meinst Du hier eher Eindeutigkeit?

Es geht darum, einen Homomorphismus zu finden, sodass ist. Das naheliegende ist, einfach zu definieren. Damit sieht man schon direkt, dass die Kommutativitätsbedingung erfüllt ist, wenn es sich hierbei um einen Gruppenhomomorphismus handelt. Es ist also zu prüfen, dass das so definierte tatsächlich eine Abbildung, d.h. wohldefiniert ist, und zudem ein Gruppenhomomorphismus.
 
 
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphiesatz
Ja, es soll Eindeutigkeit heißen. Ich war in Eile.
Was heißt eigentlich wohldefiniert? Das jedes Element des Wertebeireches auf eines im Zielbereich abbgebildet wird?
Das haben wir ja schon gezeigt. Und das die Abbildung ein Gruppenhom. ist, auch.

Also folgt eigentlich aus die Aussage?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphiesatz
Zitat:
Original von Monoid
Was heißt eigentlich wohldefiniert?

Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphiesatz
Das ist doch klar. Denn . Und weil ein Epimorphismus ist, also injektiv, folgt a=a' woraus die Aussage folgt.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphiesatz
Zitat:
Original von Monoid
Das ist doch klar. Denn . Und weil ein Epimorphismus ist, also injektiv, folgt a=a' woraus die Aussage folgt.

Das ist nur eine Umformulierung der Annahme. Dass wohldefiniert ist, benutzt ganz entscheidend die Definition .

Zitat:
Original von Monoid
Und weil ein Epimorphismus ist, also injektiv, folgt a=a' woraus die Aussage folgt.

Epimorphismus bedeutet Surjektivität, nicht Injektivität! Die kanonische Projektion auf den Quotienten ist auch nie injektiv (außer, man faktorisiert die triviale Gruppe heraus).
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphiesatz
Ich verstehe das nicht. Es existiert eine Funktion also .
Das es sich um einen Gruppenhom. handelt, folgt doch daraus. verwirrt
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Aber erstmal muss gezeigt werden, dass das so definierte überhaupt eine wohldefinierte Abbildung ist.
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Also injektiv?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Am Ende ist ein Isomorphismus, also insbesondere injektiv. Aber dazu muss zunächst gezeigt werden, dass es sich hier um eine richtig definierte Abbildung handelt.

Sei also , d.h. . Was ist dann ?
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht worauf du hinaus willst.....

Die Wohldefiniertheit von zu zeigen, geht doch viel leichter:
Seien
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre der Satz damit und dem Rest gezeigt?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Monoid

Hier sollte es heißen, aber ja, darauf wollte ich hinaus.

Dadurch ist mitnichten der Satz gezeigt. Es ist gezeigt, dass eine Abbildung mit existiert. Zu zeigen verbleiben noch:
  1. Es ist ein Homomorphismus.
  2. Es ist eindeutig mit der Eigenschaft .
  3. Es ist injektiv und surjektiv.


Edit: ergibt keinen Sinn, Du meinst .
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, hast natürlich Recht, es soll ker(phi) sein.
Die Eindeutigkeit habe ich doch schon Beiterag Nr. 1 gezeigt. verwirrt
Das ein Gruppenhom. ist, folgt auch aus der Existenz und dem Eindeutigkeitsbeweis.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Monoid
Die Eindeutigkeit habe ich doch schon Beiterag Nr. 1 gezeigt. verwirrt
Das ein Gruppenhom. ist, folgt auch aus der Existenz und dem Eindeutigkeitsbeweis.

Rechne beides doch mal konkret nach.
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Beweis
Die Eideutigkeit von folgt aus . Ebenso die Homomorphie, denn ist definiert, als Gruppenhom.. Also bleibt noch zu zeigen, dass wohldefiniert ist:
Seien . Die Aussage ist offensichtlich ( Kompositionsdefinition von und ). Der selbe Grund auch bei .
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Monoid
Beweis
Die Eideutigkeit von folgt aus . Ebenso die Homomorphie, denn ist definiert, als Gruppenhom..

Du behauptest immer nur, dass aus einer Aussage eine andere folgt, aber ich glaube Dir das erst, wenn ich es mal gesehen habe. Augenzwinkern Also zum Ansatz der Eindeutigkeit betrachte einen weiteren Homomorphismus mit . Dann...?
Ebenso weißt Du doch, was Du zur Homomorphismuseigenschaft nachweisen musst: Seien . Dann gilt:

Zitat:
Original von Monoid
Also bleibt noch zu zeigen, dass wohldefiniert ist: [...]

Der Beweis bleibt richtig, Du musst den Beweis nicht nochmal wiederholen. smile

Zitat:
Original von Monoid
Der selbe Grund auch bei .

Das Multiplikationszeichen ergibt an dieser Stelle keinen Sinn. Du meinst und .

Warum gilt denn ?
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Die Eindeutigkeit folgt doch aus . Denn ist ja eindeutig. Und die Aussage A besagt ja, dass der Funktionswert von der selbe ist wie der von . verwirrt
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Monoid
Und die Aussage A besagt ja, dass der Funktionswert von der selbe ist wie der von . verwirrt

Das müsste heißen...

Um es mal allgemein zu sagen: die Gleichheit bedeutet noch nicht, dass gilt. Betrachte z.B. die Abbildung und dann sowie . Hier gilt , aber dennoch ,

Zum Beweis in unserer Situation sei also gegeben. Für alle wollen wir zeigen, dass . Wie können wir unser Element nun schreiben?
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Als .
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Das heißt:
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Genau. Das heißt:


Tja, jetzt hast du einen Schreibfehler gemacht! Teufel Nein, war nur ein Scherz Big Laugh

Du meinst wohl .
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Gut erkannt. Augenzwinkern Und weiter?
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab die Abbildung notiert, aber ja, das stimmt. Wenn Du Dir nun unseren Fall und mein früheres Gegenbeispiel anguckst, woraus folgt die Eindeutigkeit?
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Aus .
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die Aussage der Eindeutigkeit. Augenzwinkern Ich meinte aber, was ist das entscheidende Argument?
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das nicht entscheidende Argument? Meinst du mit Argument eigentlich das mathematische oder nicht?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Also, worauf ich hinauswollte ist, dass unser Homomorphismus surjektiv ist. Deswegen haben wir einen Homomorphismus auch bereits eindeutig definiert, wenn wir ihn auf dem Bild von definiert haben.

Das geht im angegebenen Gegenbeispiel schief, da die Inklusion nicht surjektiv ist.
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Also haben wir den Satz gezeigt? Was fehlt denn noch?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Ebenso weißt Du doch, was Du zur Homomorphismuseigenschaft nachweisen musst: Seien . Dann gilt:


Zitat:
Original von zweiundvierzig
Zitat:
Original von Monoid
Die Aussage ist offensichtlich ( Kompositionsdefinition von und ). Der selbe Grund auch bei .

Das Multiplikationszeichen ergibt an dieser Stelle keinen Sinn. Du meinst und .

Warum gilt denn ?
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Weil
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Dann führe mal genauer aus, wie man die noch ausstehenden Aussagen beweist. Es reicht nicht, nur grob anzuzeigen, was bei einem Beweis eingeht, den Beweis selbst dann aber wegzulassen -- zumindest, wenn man zum ersten Mail eine Aufgabe dieses Typs bearbeitet.
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du ?
Weil der Kern eines Gruppenhom. niemals leer ist ( das neutrale Elementbwird auf das neutrale abgebildet ), können wir annehmen, dass
Also
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist etwas wirr aufgeschrieben. Du hast das Element ziemlich vom Himmel fallen lassen.

Besser wäre eine Formulierung wie folgt:

Wie sieht damit der Kern von ganz konkret aus?
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist .
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das auch, schließlich wollten wir das ja zeigen. Aber Du kannst den Kern konkret in der Form angeben.
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Und welche Beziehung besteht zwischen und ?
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

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