Bild einer linearen Abbildung skizzieren

07.01.2013, 11:37	pusteblume-88	Auf diesen Beitrag antworten »
Bild einer linearen Abbildung skizzieren Hallo, ich hab eine Aufgabe, von der ich noch nicht mal verstehe, was von mir verlangt wird. Die Aufgabe lautet: Im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ sei das Viereck V mit den Ecken (1,0), (1,1), (0,1) und (-1,0) gegeben. Skizzieren Sie jeweils das Bild von V unter der linearen Abbildungen, die bezüglich der Standardbasen durch folgende Matrizen beschrieben werden: $\begin{eqnarray} A_1 \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , A_2 \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} , A_3 \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} , A_4 \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} , A_5 \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} , A_6 \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mein Problem ist, dass ich nicht weiß, was ich mit A1-A6 anfangen soll. Warum sind das genau 6 Matrizen? reichen nicht 4 Matrizen aus? Für jede Ecke eine? Mir geht es nicht um das Lösen an sich der Aufgabe, sondern erstmal um das Verständnis. vlt komm ich auch mit den Begriffen der Abbildung noch nicht so ganz klar.... vlt kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
07.01.2013, 12:08	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild einer linearen Abbildung skizzieren Es handelt sich um 6 verschiedene Abbildungen die jeweils mit den angegebenen Matrizen dargestellt werden. Jetzt nimmst du Matrix für Matrix und bildest jeweils die Punkte des Vierecks auf ihre Bildpunkte ab.
07.01.2013, 12:32	pusteblume-88	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, also nehme ich jetzt die erste Matrix A1 und bilde darauf alle 4 Ecken ab, dann das ganze mit A2 usw. nungut, ich habe aber keine Abbildungsvorschrift gegeben. Irgendjemand aus der Uni hat im Vorbeigehen gesagt, man soll die dann multiplizieren. Aber wo steht, dass ich die multiplizieren soll? Ich kenne das von Funktionen nur, dass man eine Vorschrift braucht, was ja nicht immer die Multiplikation ist. Warum ist das hier anders?
07.01.2013, 12:55	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, also da musst du dich nochmal näher mit linearen Abbildungen beschäftigen. Jede lineare Abbildung von $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \to \mathbb R^m \end{eqnarray}$ kann durch eine Abbildungsmatrix beschrieben werden. Und die hast du hier gegeben. Die sind deine Abbildungsvorschrift. Schau nochmal in dein Skript, das müsste da drin stehen.
07.01.2013, 23:13	pusteblume-88	Auf diesen Beitrag antworten »
mhm, ich hab mal im Skript geblättert...meinst du in etwa solch eine Formulierung? "Für die Bilder $\begin{eqnarray} f(v_k) \end{eqnarray}$ existiert eine eindeutige Darstellung: $\begin{eqnarray} f(v_k)=\beta_{1,k}w_1+\beta_{2,k}w_2+...+\beta_{m,k}w_m \end{eqnarray}$ " Ist das nicht das gleiche wie $\begin{eqnarray} A\vec x = \vec b \end{eqnarray}$ ? die "Funktion" A ordnet hier doch jedem x ein b zu. etwas verwirrt bin ich noch, aber das würde zumindest schonmal die Multiplikation erklären. Ich werd mal ne Nacht drüber schlafen
08.01.2013, 08:55	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier vermengst du aber einiges: Linearkombination von Vektoren, lineares Gleichungssystem, lineare Abbildung. Im Moment brauchen wir letzteres. Dabei ist es so, daß jede Matrix A eine lineare Abbildung f impliziert, die so definiert ist, daß jeder Vektor v auf den Vektor A*v abgebildet wird.
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