Untervektorraum LA I - Problem mit einer Aufgabe

08.01.2013, 20:54

TnTwist

Untervektorraum LA I - Problem mit einer Aufgabe

Meine Frage:
Hallo Matheboard^^
habe bei folgender Aufgabe ein Problem:
Zeigen oder wiederlegen sie das $\begin{eqnarray*} U_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_{2} \end{eqnarray*}$ Unterräume von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ sind.
$\begin{eqnarray*} U_{1}:={(x,y,z)\in \mathbb R ^3 | x+y-1=1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} U_{2}:={u_{1} -u_{2}|u_{1} ,u_{2}\in U_{1}} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Das $\begin{eqnarray*} U_{1} \end{eqnarray*}$ kein Unterraum ist habe ich schon gezeigt, indem Ich gezeigt habe das der Nullvektor nich Element der Menge $\begin{eqnarray*} U_{1} \end{eqnarray*}$ ist.

Ich stecke nun bei $\begin{eqnarray*} U_{2} \end{eqnarray*}$ fest. Als erstes habe ich $\begin{eqnarray*} {u_{1} -u_{2}} \end{eqnarray*}$ bestimmt indem ich $\begin{eqnarray*} u_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}) \end{eqnarray*}$
gestetzt habe. Bekomme $\begin{eqnarray*} (x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{1},z_{1}-z_{2}) \end{eqnarray*}$ Wollte jetzt die 3 Unterraumaxiome anwenden aber weiß nicht wie unglücklich

(Haben mit LA vor den Weihnachtsferien erst angefangen)

Würde mich freuen wenn ihr mir helfen könnt:9 Danke im Vorrauß
Gruße TnTwist

08.01.2013, 21:11

TnTwist

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Untervektorraum LA I - Problem mit einer Aufgabe
Habe jetzt versucht $\begin{eqnarray*} (x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2},z_{1}-z_{2}) \end{eqnarray*}$ in die Gleichung von $\begin{eqnarray*} U_{1} \end{eqnarray*}$ eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} (x_{1}-x_{2})+(y_{1}-y_{2})-1=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1}-x_{2}+y_{1}-y_{2}-1=1 \end{eqnarray*}$
Umgestellt zu:
$\begin{eqnarray*} x_{1}+y_{1}-1-x_{2}-y_{2}=1 \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} u_{1} \in U_{1} \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} u_{1}=x_{1}+y_{1}-1=1 \end{eqnarray*}$
Dann kann ich $\begin{eqnarray*} x_{1}+y_{1}-1-x_{2}-y_{2}=1 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} 1-x_{2}-y_{2}=1 \end{eqnarray*}$ umformen.
Würde hiermit dann die Axiome zeigen.
Hoffe das dies jetzt kein Schuß im Ofen war unglücklich

09.01.2013, 09:12

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Untervektorraum LA I - Problem mit einer Aufgabe

Zitat:

Original von TnTwist
Da $\begin{eqnarray*} u_{1} \in U_{1} \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} u_{1}=x_{1}+y_{1}-1=1 \end{eqnarray*}$

Hier vermengst du ein Element aus dem R³ (nämlich das u_1) mit Elementen aus R. Das beißt sich fundamental. geschockt

Ich würde erstmal nachweisen, daß der Nullvektor in U_2 enthalten ist.

09.01.2013, 13:15

TnTwist

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok habe:
$\begin{eqnarray*} u_{1}=(1,1,1)=u_{2} \end{eqnarray*}$
Zeigen das (1,1,1) $\begin{eqnarray*} \in U_{1} \end{eqnarray*}$ ist
$\begin{eqnarray*} 1+1-1=1 \end{eqnarray*}$ Passt!
$\begin{eqnarray*} u_{1} - u_{2}=(1-1,1-1,1-1)=(0,0,0) \end{eqnarray*}$
Damit ist doch gezeigt das der nullvektor in U2 liegt

09.01.2013, 13:17

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Jetzt fehlen noch die anderen beiden Unterraum-Bedingungen.

09.01.2013, 13:54

TnTwist

Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte ich $\begin{eqnarray*} a,b \in U_{2} => a+b \in U_{2} \end{eqnarray*}$ zeigen in dem ich mir 4 vektoren die in U_1 liegen nehme sagen wir: u_1, u_2, u_3 und u_4 dann nehme ich a=u_1 -u_2, b=u_3-u_4 . Würde es genügen wenn ich einfach 4 aussuche die in U_1 liegen und es für diese 4 versuche?

09.01.2013, 15:08

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von TnTwist
Würde es genügen wenn ich einfach 4 aussuche die in U_1 liegen und es für diese 4 versuche?

Ich weiß jetzt nicht, was du damit sagen willst. Aber wie dem auch sei. Wenn $\begin{eqnarray*} a,b \in U_2 \end{eqnarray*}$ sind, dann gibt es $\begin{eqnarray*} u_1, u_2, u_3, u_4 \in U_1 \end{eqnarray*}$ mit a = u_1 - u_2 und b = u_3 - u_4 .

Jetzt mußt du zeigen, daß es zu a + b Vektoren v und w aus U_1 gibt, mit a + b = v - w .

09.01.2013, 15:20

TnTwist

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe bis hier das für die 2te Bedingung:
$\begin{eqnarray*} a,b \in U_{2}=>a+b \in U_{2} (Bedingung) \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} a,b \in U_{2} => a= u_{1} - u_{2} b=u_{3}-u_{4} \end{eqnarray*}$
Wähle $\begin{eqnarray*} u_{1}=(1,1,1) , u_{2}= (5,-3,2), u_{3}=(-2,4,3) und u_{4}=4,-2,4) \end{eqnarray*}$ Den Beweiß das diese Vektoren in U1 liegen spare ich mir hier grade(habs aber nachgeprüft)
$\begin{eqnarray*} => a+b=(1-5,1+3,1-2)+(-2-4,4+2,3-4) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(-4,4,-1) + (-6,6,-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(-10,10,-2)=(-3,5,-1)-(7,-5,1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-3,5,-1) \in U_{1}, da -2+5-1=1 (7,-5,1) \in U_{1}, da 7-5-1=1 \end{eqnarray*}$
Daraus folgt doch das $\begin{eqnarray*} a+b \in U_{2} \end{eqnarray*}$ oder etwa nicht?

09.01.2013, 15:36

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt, du hast den Beweis, daß $\begin{eqnarray*} a+b \in U_2 \end{eqnarray*}$ ist, gerade mal für 2 Vektoren (nämlich für a = (-4, 4, -1) und b = (-6, 6, -1) ) gezeigt. Und was machst du mit den vielen anderen Vektoren, die ebenfalls Elemente von U_2 sind? verwirrt

09.01.2013, 18:21

TnTwist

Auf diesen Beitrag antworten »

Mist habe mir schon gedacht das es zu allgemein ist unglücklich

Also soweit bin ich:
$\begin{eqnarray*} a,b \in U_{2} => a+b \in U_{2} \end{eqnarray*}$
Bedingung: $\begin{eqnarray*} a+b=w-v, w,v \in U_{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a = (u_{1}-u_{2}), b=(u_{3}-u_{4}), u_{1},u_{2},u_{3} , u_{4} \in U_{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u_{k}=(x_{k},y_{k},z_{k}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a+b = (x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2},z_{1}-z_{2})+(x_{3}-x_{4},y_{3}-y_{4},z_{3}-z_{4}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4},y_{1}-y_{2}+y_{3}-y_{4},z_{1}-z_{2}+z_{3}-z_{4})= w-v \end{eqnarray*}$
Hier stecke ich fest! unglücklich

Ich komm einfach nicht drauf wie ich den langen Vektor in w-v zerlegen soll und danach zeigen kann das w und v elemente aus U1 sind!
Danke bis jetzt schon mal für die viele Hilfe smile

09.01.2013, 20:14

TnTwist

Auf diesen Beitrag antworten »

Aktueller Stand:
$\begin{eqnarray*} (x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2},z_{1}-z_{2})(a) + (x_{3}-x_{4},y_{3}-y_{4},z_{3}-x_{4})(b) <br /> = (x_{1}-x_{4},x_{1}+x_{3},u_{1}-z_{2})(w) - (x_{2}-x_{3},y_{2}+y_{4},z_{4}-x_{3})(v) \end{eqnarray*}$
w und v liegen in U1 wenn folgene Bedingungen gelten:
$\begin{eqnarray*} (x_{4}=y_{3}), (x_{3}=y_{4}) \end{eqnarray*}$ .
Passt das?

10.01.2013, 09:17

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von TnTwist
Mist habe mir schon gedacht das es zu allgemein ist unglücklich

Nee, eher war das gerade das Gegenteil.

Was deine weitere Rechnungen angeht, blicke ich nicht so richtig durch. Sei's drum.

Wenn $\begin{eqnarray*} a = u_1 - u_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b = u_3 - u_4 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u_1, u_2, u_3, u_4 \in U_1 \end{eqnarray*}$ , dann wählst du

$\begin{eqnarray*} w: = u_1 + u_3 - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v: = u_2 + u_4 - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zeige nun, daß a + b = w - v ist und w und v Elemente von U_1 sind.

Neue Frage »

Antworten »

Untervektorraum LA I - Problem mit einer Aufgabe

Verwandte Themen