Komplexe Zahl als 2 Wurzeln einer komplexen Zahl?

09.01.2013, 11:59

Pfottn

Komplexe Zahl als 2 Wurzeln einer komplexen Zahl?

Meine Frage:
Hallo zusammen, ich habe folgende Aufgabe:

Sei z = a+bi ein Komplexe Zahl mit den reellen Zahlen a b, dann besitzt z in C zwei Wurzeln +/-(c+di), sodass
z = (c + di)^2.

Leite eine Formel für c und d her und Überprüfe das Ergebnis
anhand des Beispiels z = 1 + i.

Meine Ideen:
Ich habe keine Idee, wie ich so etwas lösen soll... Kann mir jemand helfen bitte?

09.01.2013, 12:11

RavenOnJ

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Dann multipliziere mal den Ansatz aus und mach einen Koeffizientenvergleich für Real- und Imaginärteil. Dies ergibt zwei Gleichungen in zwei Unbekannten.

09.01.2013, 12:56

Pfottn

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Ich habe jetzt folgendes errechnet:

$\begin{eqnarray*} c = \frac{b}{2*(\frac{2*\sqrt{a}}{b*(1-\frac{2}{b}) } )} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} d = \frac{2*\sqrt{a}}{b*(1-\frac{2}{b} )} \end{eqnarray*}$

also ergibt sich bei dem Beispiel

$\begin{eqnarray*} 1+i : d=-2 c=-\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Kann das Stimmen??? Lehrer

09.01.2013, 12:59

klarsoweit

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Dann müßte $\begin{eqnarray*} (-\frac{1}{4} -2i)^2 = 1+i \end{eqnarray*}$ sein.

Das sieht aber nicht danach aus. smile

09.01.2013, 13:43

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Pfottn
$\begin{eqnarray*} c = \frac{b}{2*(\frac{2*\sqrt{a}}{b*(1-\frac{2}{b}) } )} \end{eqnarray*}$

Geht's noch komplizierter? Es ist einfacher:

$\begin{eqnarray*} c^2-d^2 = a \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 2cd = b\Rightarrow d =\frac{b}{2c} \end{eqnarray*}$

Dieses $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ nun in die 1. Gleichung einsetzen und die enstehende quadratische Gleichung in $\begin{eqnarray*} c^2 \end{eqnarray*}$ lösen. Scheinbar gibt es vier Lösungen für (c,d). Man muss also noch die Frage beantworten, warum es in Wirklichkeit doch nur zwei sind.

09.01.2013, 15:58

Pfottn

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Aber da komme ich zu dem Punkt:

$\begin{eqnarray*} c^{2} - \frac{b^{2}}{(2c)^{2}} = a \end{eqnarray*}$

wie kann ich hier das c freistellen, wenn es beim zweiten Term im Nenner steht?

Blöde frage, aber ich hab grad voll den hänger! unglücklich