Für welche a bilden die Vekt. eine Basis

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09.01.2013, 17:28	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Für welche a bilden die Vekt. eine Basis Hallo zusammen, ich habe keine Ahnung wie ich die Aufgabe richtig lösen soll: Für welche $\begin{eqnarray} a \in \mathbb C \end{eqnarray}$ bilden die folgenden Vektoren eine Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb C^3 \end{eqnarray}$ ? $\begin{eqnarray} \vec{u} = \begin{pmatrix} a \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ a \end{pmatrix}, \quad \vec{w} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mein Ansatz: $\begin{eqnarray} \lambda_1 \begin{pmatrix} a \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ a \end{pmatrix} + \lambda_3 \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ a \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich versucht das mit Gauß zu lösen, aber irgendwie kommt da nur "Müll" raus: $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc\|c} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{a+2}{-2a-2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{a+2}{-2a-2}-\frac{2-a}{-4-a} & 0 \end{array}\right) \end{eqnarray}$ Was mache ich falsch? Vielen Dank!
09.01.2013, 18:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst Dir in jedem einzelnen Schritt überlegen, ob du dividieren darfst. Division durch 0 geht nicht, das führt jedesmal zu einer Fallunterscheidung.
09.01.2013, 19:15	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim letzten schritt muss gelten: $\begin{eqnarray} a\not=-1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a\not=-4 \end{eqnarray}$ Aber wie jetzt eine Fallunterscheidung machen? Die letzte Zeile in der letzen Matrix bekomme ich auch irgendwie nicht richtig ausgerechnet... Danke!
09.01.2013, 19:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Fallunterscheidung kommt schon vorher! Du darfst nicht durch -2a-2 dividieren, wenn a=-1 ist. Fall 1: a=-1, Fall 2: a ungleich -1.
09.01.2013, 19:32	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt, aber wenn ich a=-1 habe dann, darf ich doch garnicht weiterrechnen, da ich sonst durch 0 dividiere. Irgendwie steh ich gerade auf dem Schlauch
09.01.2013, 19:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Fall 1, wenn a=-1 ist, schreibst du einfach die Matrix hin, die sich durch EINSETZEN von a=-1 ergibt. Im Fall 2 rechnest Du weiter.
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09.01.2013, 19:53	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc\|c} a & 2 & -2 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 2 & a & a & 0 \end{array}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc\|c} -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -2a-2 & a+2 & 0 \\ 2 & 4-a & 2-a & 0 \end{array}\right) \end{eqnarray}$ Fall 1 a=-1: $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc\|c} -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 3 & 0 \end{array}\right) \end{eqnarray}$ *Fall 2 $\begin{eqnarray} a\not=-1 \end{eqnarray}$ :* $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc\|c} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{a+2}{-2a-2} & 0 \\ 2 & 5 & 3 & 0 \end{array}\right) \end{eqnarray}$ Fall 3 a=-4: $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc\|c} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{3} & 0 \\ 2 & 5 & 3 & 0 \end{array}\right) \end{eqnarray}$ *Fall 4 $\begin{eqnarray} a\not=-4 \end{eqnarray}$ :* $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc\|c} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{a+2}{-2a-2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{a+2}{-2a-2}-\frac{2-a}{-4-a} & 0 \end{array}\right) \end{eqnarray}$ Irgendwie versteh ichs aber immer noch nicht wirklich. Und der letzte Wert, kann doch so nicht richtig sein? Für welche $\begin{eqnarray} a \in C \end{eqnarray}$ bilden die Verktoren eine Basis? Für $\begin{eqnarray} a\not=-1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \not=-4 \end{eqnarray}$ ? Danke!
09.01.2013, 20:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
jetzt hast du dich verrechnet. Fall 1. a=-1 . Rang berechnen (ist noch nicht fertig) Fall 2. a ungleich -1 . Letzte Zeile ist falsch. Fall (3=)21. a ungleich -1 und a=-4 . Rang berechnen (ist noch nicht fertig) Fall (4=)22. a ungleich -1 und a ungleich -4 . Das Element unten rechts kann 0 sein, oder auch nicht. Insgesamt: Rang=3, dann Basis. Rang<3, dann l.a., also keine Basis.
09.01.2013, 20:30	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay vielen dank, ich werde die Aufgabe morgen früh nochmal versuchen!
10.01.2013, 15:58	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Neuer Versuch: $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc\|c} a & 2 & -2 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 2 & a & a & 0 \end{array}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc\|c} -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -2a-2 & a+2 & 0 \\ 2 & 4-a & 2-a & 0 \end{array}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a=-1 \end{eqnarray}$ : Rang = 3 $\begin{eqnarray} a\not=-1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc\|c} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{a+2}{-2a-2} & 0 \\ 2 & 4-a & 2-a & 0 \end{array}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a\not=-1 \wedge a=-4 \end{eqnarray}$ : Rang = 3 $\begin{eqnarray} a\not=-1 \wedge a\not=-4 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc\|c} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{a+2}{-2a-2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{a+2}{-2a-2}-\frac{2-a}{-4-a} & 0 \end{array}\right) \end{eqnarray}$ Antwort: Die Vektoren bilden $\begin{eqnarray} \forall a \in \mathbb C \end{eqnarray}$ eine Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb C^3 \end{eqnarray}$ . Kann das so sein? Irgendwie kommt mir das komisch vor...
10.01.2013, 18:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Fall 1 und Fall 3 sind korrekt. Fall 4: Rang=2 genau dann wenn $\begin{eqnarray} \frac {a+2}{-2a-2}-\frac {2-a}{-4-a}=0 \end{eqnarray}$ . Das ist eine quadratische Gleichung mit genau 2 Lösungen in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ .
10.01.2013, 18:19	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Also teilt sich Fall 4 nochmal in 2 Fälle auf? Ich hatte das mal mit Wolfram Alpha gerechnet vorhin Sind das zwei Lösungen für wo es Rang 2 ist? Ich versuch jetzt nochmal selbst auf diese Lösungen zu kommen.
10.01.2013, 18:25	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Also $\begin{eqnarray} a\not=-1 \wedge a\not=-4 \wedge \frac{a+2}{-2a-2}-\frac{2-a}{-4-a} = 0 \end{eqnarray}$ : Für [attach]27751[/attach] Rang 2 $\begin{eqnarray} a\not=-1 \wedge a\not=-4 \wedge \frac{a+2}{-2a-2}-\frac{2-a}{-4-a} \not= 0 \end{eqnarray}$ : Rang 3
10.01.2013, 18:25	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so ist es. Das kannst du mit Schulwissen auch ohne Wolfram.
10.01.2013, 18:27	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Ob ich das so einfach kann, glaub ich noch nicht so richtig, weil die PQ-Formel ja nicht einzeln sondern auf einem Bruch steht //EDIT: Ich hab aber ne Idee, ich rechne mal
10.01.2013, 18:41	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Mh nee doch keine Idee Ich komme hier nicht weiter: $\begin{eqnarray} \frac{-3a^2-4a-8}{2a^2+10a+8} \end{eqnarray}$ Wie kann ich denn jetzt nochmal meine PQ Formel anwenden?
10.01.2013, 18:45	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Mittelstufe Gymnasium: den zweiten Bruch addieren, mit dem Hauptnenner multiplizieren, Klammern auflösen, Potenzen sortieren --> quadratische Gleichung.
10.01.2013, 18:49	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sind meine faulen Jahre gewesen, hab echt viel nachzuholen immer wieder. Was meinst du mit 2. Bruch addieren? Sorry für die dumme Frage... //EDIT Auchso die Gleichung muss ja auch noch = 0 sein, oder?
10.01.2013, 19:04	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bekommst echt nicht hin, stehe auf dem Schlauch, hast du irgendwie Literatur für mich? Oder kannst du mir sagen wonach ich suchen soll? Sufu und google spuckt mir nichts brauchbares aus. Danke! $\begin{eqnarray} \frac{-3a^2-4a-8}{2a^2+10a+8}=0 \end{eqnarray}$ Die Gleichung mit $\begin{eqnarray} \frac{2a^2+10a+8}{1} \end{eqnarray}$ darf ich nicht, oder? So würde der untere Teil wegfallen...
10.01.2013, 19:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Simple Grundrechenarten (so etwas lehre ich Hauptschülern): $\begin{eqnarray} \frac {a+2}{-2a-2} - \frac {2-a}{-4-a} =0 \Leftrightarrow (a+2)(-4-a)=(2-a)(-2a-2) \end{eqnarray}$
10.01.2013, 19:22	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay anscheinend geht es doch Ich hab's raus: $\begin{eqnarray} a_{1/2}=-\frac{2}{3}\pm\frac{2\sqrt{5}}{3}i \end{eqnarray}$ Dein Weg ist natürlich um einiges schneller... Antwort $\begin{eqnarray} \forall a \in C \end{eqnarray}$ außer $\begin{eqnarray} a=-\frac{2}{3}\pm\frac{2\sqrt{5}}{3}i \end{eqnarray}$ ist es eine Basis. Ist die Antwort so richtig? Danke!
10.01.2013, 19:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wofram sagt $\begin{eqnarray} \sqrt 2 \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} \sqrt 5 \end{eqnarray}$ , und hat recht. Sonst ist alles richtig.
10.01.2013, 19:35	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups ich sehe grad, dass ich einen Rechenfehler gemacht habe, als ich versucht habe, deinen Weg nachzurechnen Hast du die einfach über Kreu Miltipliziert und wegen dem Minus auf die andere Seite geholt? Muss ich mir mal merken Vielen Dank!
10.01.2013, 19:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Wie man Gleichungen 5. Grades löst, kannst du am besten bei Felix Klein "Vorlesungen über das Ikosaeder" (Ende 19. Jahrhundert) nachlesen. Das findest du im GDZ (Göttinger Digitalisierungszentrum). Das ist allerfeinste Vorbereitung für "Algebra" (Galoistheorie) und "Funktionentheorie" und "Topologie" (Riemannsche Flächen) und dann kannst du mit "Zahlentheorie" weitermachen.
10.01.2013, 19:53	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, dann habe ich ja gut was zu tun Vielen Dank nochmal für die ausführliche Hilfe!

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