Eigenwerte und Menge der Eigenvektoren bestimmen

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09.01.2013, 18:55	sevenelf	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte und Menge der Eigenvektoren bestimmen Meine Frage: Hallo, meine Aufgabe: Berechnen Sie alle Eigenwerte und die Mengen der zugehörigen Eigenvektoren von $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Also man geht wie folgt vor: Man berechnet A-xE = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}- x\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Man berechnet die Determinante der entstehenden Matrix. Das ergibt bei mir -x³+x²-4x-4. Dann errate ich eine Lösung -> x = -1. Leider geht die folgende Polynomdivision nicht auf. Könnte jemand meine Rechnung überprüfen und mir einen Tipp geben, wie ich die Menge der Eigenvektoren bestimme? Danke.
09.01.2013, 19:37	Terry Lyndon	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest die Determinante vorerst nicht in die Form ax^3 + bx^2 + cx + d bringen. Versuche sie in Linear Faktoren zu zerlegen. Mach zumindest soweit wie möglich, sodass deine Determinante zB. die Form x(x - e)(x + f)^2(3x^2 + g) Versuch das mal möglichst mit Vorklammern und so. Erst wenn es hart auf hart kommt musst du es tatsächlich zu Fuß ausrechnen, dann wurde aber ein blödes Beispiel gewählt.
09.01.2013, 22:57	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
In diesem Fall kann man sogar zwei Eigenwerte fast aus der Matrix ablesen, wenn man versucht, die erste Zeile zu einem Vielfachen der zweiten bzw. die zweite zu einem Vielfachen der dritten zu machen.
10.01.2013, 16:32	sevenelf	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Determinante lässt sich nicht in eine Form bringen, die nur aus Produkten besteht. Habe nur folgendes rausgebracht. (2-x)(-1-x)(-x)+6x+4 Weiß jemand welche Zeilenumformungen ich da genau vornehmen muss? Hab vieles ausprobiert, schaff es aber net zwei zeilen linear abhängig zu machen.
10.01.2013, 17:00	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Von Zeilenumformungen habe ich nichts gesagt Du kannst aber von den Diagonalelementen jeweils ein $\begin{eqnarray} x\in\mathbb R \end{eqnarray}$ (ja, alle drei Eigenwerte sind hier reell) subtrahieren.
10.01.2013, 18:38	sevenelf	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hab ich doch schon einmal gemacht (siehe 1.Nachricht). Dann habe ich A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2-x & -1 & 1 \\ 2 & -1-x & 2 \\ 2 & 1 & -x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und jetzt?
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10.01.2013, 18:40	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie könntest du denn nun $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ wählen, damit die dritte Zeile ein Vielfaches der zweiten ist?
11.01.2013, 17:01	sevenelf	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh... wenn ich x = -2 wähle dann habe ich A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Somit sind die zweite und dritte Zeile linear abhängig. oder ich wähle x = 0, dann ist die erste und zweite Zeile linear abhängig. Heißt das nun, dass x = 0, -2 die Eigenwerte der Matrix sind?
11.01.2013, 17:13	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Minus Zwei passt schonmal (du meintest aber $\begin{eqnarray} a-(-2)E=\dotso \end{eqnarray}$ ). Null ist aber kein Eigenwert, die ersten beiden Zeilen von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ sind nicht linear abhängig. An der dritten Spalte siehst du aber auch, zu welchem Vielfachen der ersten Zeile du die zweite machen kannst. Verändere dann die Diagonaleinträge so, dass es passt. Ansonsten könnte dir das auch reichen. Wenn du jetzt $\begin{eqnarray} \det(A-xE) \end{eqnarray}$ richtig (!) berechnest, kannst du durch $\begin{eqnarray} (x+2) \end{eqnarray}$ teilen und die $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ -Formel anwenden.
11.01.2013, 18:18	sevenelf	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke vielmals ... ich habs also det(A)=-x³+x²+4x-4 -> -x²+3x-2 -> Eigenwerte -2, 1 und 2 so daraus ergeben sich folgende LGS: x1 = 1: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \|0 \\ 2 & -2 & 2 \|0 \\ 2 & 1 & -1 \|0 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ -> 2.Zeile Vielfaches der 1.Zeile: 2 1 -1 \| 0 -> 2x1+x2-x3 wie bestimme ich daraus die Mengen der Eigenvektoren? x2 = 2: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \|0 \\ 2 & -3 & 2 \|0 \\ 2 & 1 & -2 \|0 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ wie komme ich hier weiter? x3 = -2 $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 4 & -1 & 1 \|0 \\ 2 & 1 & 2 \|0 \\ 2 & 1 & 2 \|0 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ -> 2. und 3.Zeile identisch -> 4 -1 1 \| 0 -> 4x1-x2+x3 = 0 wie bestimme ich daraus die Mengen der Eigenvektoren?
11.01.2013, 18:22	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Probier es doch in allen drei Fällen mit Gauß. Die Eigenwerte sind jedenfalls schonmal richtig.
13.01.2013, 15:02	sevenelf	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, Aufgabe ist gelöst

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