Untervektorraum prüfen

09.01.2013, 21:19

Monsterin

Untervektorraum oder nicht?

Halli hallo Wink

,
also ich habe Probleme bei so ähnlichen Aufgaben und zwar:
wir befinden uns im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$
und die Aufgabe lautet wie folgt: $\begin{eqnarray*} \left\{ \left(x, y\right) x^{2} + y^{2} = 1 \right\}\bigcup \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ (also ist nur eine von vielen, aber die anderen verstehe ich noch weniger.
Was genau muss ich jetzt machen?
Setze ich als Probe zu aller erst die 0 ein, um zu schauen ob 1 raus kommt oder wie oder was? verwirrt

Bitte bitte hilft mir! Gott

Ich strahls absolut nichts traurig

, da in der Vorlesung nicht mal erwähnt wurde was UVR ist oder der Gleichen Lehrer

09.01.2013, 22:29

Helferlein

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Da Deine Frage zwar ähnlich zur Ausgangsfrage ist, aber dennoch mit der eigentlichen Aufgabe nichts zu tun hat, habe ich sie in einen eigenen Thread gelegt.
Bitte nur an einen Thread anhängen, wenn sich der Beitrag unmittelbar auf diesen bezieht.

Zu deinem Problem: Die drei Kriterien für einen UVR findest Du sicher im Skript oder jedem Fachbuch über die Grundlagen von Vektorräumen. Im Gegensatz zu den Vektorraumkriterien, gibt es für UVR nur drei Bedingungen, die Du prüfen musst:

1) Enthält der Raum mindestens ein Element? (Am einfachsten an der 0 zu prüfen)

2) Ist die Summe zweier Elemente wieder in der Menge?

$\begin{eqnarray*} \forall~a,b \in U : a+b \in U \end{eqnarray*}$

3) Ist jedes skalare Vielfaches eines Elements ebenfalls in der Menge?

$\begin{eqnarray*} \forall~a \in U, \lambda \in K : \lambda a \in U \end{eqnarray*}$

Du kannst im Prinzip alles formell durchprüfen, bei zwei oder dreidimensionalen Teilmengen ist es aber meistens sinvoll, sich erst einmal zu überlegen, wie die Menge aussieht und was dann beispielsweise ein Vielfaches eines Elements ist.

09.01.2013, 22:32

Mazze

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Zitat:

Setze ich als Probe zu aller erst die 0 ein, um zu schauen ob 1 raus kommt oder wie oder was? verwirrt

Soweit ich das überblicke versuchst Du hier gerade zu raten. Würde man nicht Die Menge {0} dazu tun hättest Du sogar recht. Aber in diesem Fall nicht. Die Menge besteht aus allen Element deren Quadratsumme 1 ergibt und der 0. Und die 0 ist drin. Allerdings kann man sich schwer vorstellen das ein Kreis ein linearer Unterraum eines "normalen" Vektorraums sein soll. Igrendwas muss wohl verletzt sein Augenzwinkern

.

Ich würde mal schauen ob die Menge abgeschlossen ist.

09.01.2013, 22:32

Terry Lyndon

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Für Untervektorräume gelten im Grunde die gleichen Bedingungen wie für Vektorräume, nur das sie eine Teilmenge eines Vektorraumes bilden.

Dh. für einen beliebigen Vektor v aus deiner Menge meinetwegen v = (1, 0) muss gelten, das ein Vielfaches von v ebenfalls in der Menge liegt.

Also a *v = (a, 0) muss ebenfalls in der Menge liegen.

Für v gilt: x^2 + y^2 = 1^2 + 0^2 = 1

Was gilt demnach für av? Edit(Helferlein): Lösung in Frage geändert, da Komplettlösungen gegen das Boardprinzip verstoßen

edit: tja, ich war wohl etwas langsam...

10.01.2013, 11:24

Monsterin

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Zitat:

Original von Mazze
Soweit ich das überblicke versuchst Du hier gerade zu raten.

Da könntest du Recht haben, da ich absolut mit Vektorraum/UVR nichts anfangen kann.
Ich habe zwar die Begriffe an sich schon mehrere Male gegooglet, jedoch bringt mich das zu keiner Erkenntnis unglücklich

Eine weitere Aufgabenstellung ist zB. auch:
$\begin{eqnarray*} \left\{\left(x,y\right) | 7x + 2y = 0\right\} \end{eqnarray*}$
bei dieser hatte ich erst 0 für x und y eingesetzt, um zu sehen das 0 raus kommt. Habe versucht diese Aufgabe mit den Schritten zu lösen, die ich auf dem matheboard gefunden hatte.

Nun habe ich gedacht, evtl würde das für die eigentliche Aufgabenstellung auch gehen
$\begin{eqnarray*} \left\{\left(x,y\right) | x^2 + y^2 = 1\right\} \bigcup \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$

doch leider Blicke ich absolut nicht durch...also ich verstehe eigentlich nur Bahnhof Forum Kloppe

Zitat:

Original von Mazze
Würde man nicht Die Menge {0} dazu tun hättest Du sogar recht. Aber in diesem Fall nicht. Die Menge besteht aus allen Element deren Quadratsumme 1 ergibt und der 0. Und die 0 ist drin. Allerdings kann man sich schwer vorstellen das ein Kreis ein linearer Unterraum eines "normalen" Vektorraums sein soll. Igrendwas muss wohl verletzt sein Augenzwinkern

.
Ich würde mal schauen ob die Menge abgeschlossen ist.

Lese ich aus deiner Hilfestellung richtig heraus, dass der UVR sowohl die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , als auch die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ enthalten muss?

Also ganz dumm gefragt, was genau suche ich hier?
Suche ich einen Vektor, der diese Gleichung erfüllt? oder einzelne Punkte? verwirrt

Tut mir leid, dass es so viele dumme Fragen sind, aber irgendwie versteht es bei uns keiner so wirklich und erklären kann es mir auch keiner unglücklich

10.01.2013, 17:37

Helferlein

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Zitat:

Original von Monsterin
Lese ich aus deiner Hilfestellung richtig heraus, dass der UVR sowohl die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , als auch die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ enthalten muss?

Also ganz dumm gefragt, was genau suche ich hier?
Suche ich einen Vektor, der diese Gleichung erfüllt? oder einzelne Punkte? verwirrt

Zu 1) Weder noch. Es geht nämlich um den Nullvektor, nicht um die Zahlen 0 oder 1.
Der Nullvektor ist der, den Du zu jedem beliebigem Vektor addieren kannst, ohne dass sich das Ergebnis verändert. In den reellen Zahlen ist es die Zahl 0, im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ der Vektor (0,0)
Ist der Begriff des Vektors denn überhaupt klar? Ansonsten dürfte es äußerst schwer werden den Teilraum (Unterraum) Begriff zu verstehen. Schließlich handelt es sich um eine Teilmenge, die wiederum einen Vektorraum bildet.

Zu 2) Was Du suchst kann ich Dir nicht sagen. Die Aufgabe fordert aber einen Beweis oder ein Gegenbeispiel. Je nachdem, ob es sich um einen UVR handelt, oder nicht.

Zu 3) Wenn Du einen Vektor findest, hast Du gerade mal ein Element des Raums gefunden. Das nützt Dir aber wenig für den Beweis oder das Gegenbeispiel. Dazu musst Du alle Elemente kennen. Für alle Vektoren der Menge müssen die Unterraumkriterien gelten, die ich oben aufgelistet habe (und Du sicher auch bei deinen Recherchen gefunden hast).

Fangen wir vielleicht erst einmal kleiner an: Wenn ich Deinen Hinweis im letzten Beitrag richtig deute, ist Dir nicht bekannt, was man unter einem Vektorraum versteht.
Hier hilft die Definition weiter, auch wenn sie anfangs recht abstrakt erscheint:
Wir haben zunächst einmal zwei Mengen M und K. In der ersten Menge (M) ist eine Verknüpfung definiert, die wir Addition nennen. Zwischen den beiden Mengen wiederum können wir eine Multiplikation definieren, so dass das Ergebnis dieser Multiplikation ein Element aus M ergibt.
Erfüllen nun diese beiden Verknüpfungen (Addition und skalare Multiplikation) und die Mengen selber bestimmte Eigenschaften, dann sprechen wir von einem Vektorraum M über dem Körper K.

Das zu prüfen ist ziemlich trocken und aufwendig. Daher behilft man sich damit möglichst umfangreiche Vektorräume zu finden und dann Teilmengen dieser Räume zu betrachten. Der Vorteil daran ist enorm: Sämtliche Kriterien lassen sich auf die drei oben genannten reduzieren und daher müssen wir auch nur diese drei Bedingungen prüfen.

Um erstmal ein Gefühl für Vektorräume zu bekommen, solltest Du Dich an die Physik der Mittelstufe erinnern: Thema Kraftvektoren. Da hat man schon mit Vektoren gearbeitet ohne auch nur den Begriff klar definieren zu müssen. Ein Vektor war dort einfach nur ein Pfeil, der im Ursprung startet und auf einen Punkt des Koordinatensystems zeigt.
Diese Vorstellung hilft aber enorm, um in das Thema einzusteigen. Die skalare Multiplikation entspricht dann einer Verlängerung oder Verkürzung des Pfeils, die Addition lässt sich durch aneinanderschieben der Pfeile ebenfalls schön darstellen.

Und ob Du es nun glaubst oder nicht: Diese einfache Sichtweise reicht aus, um sich zu überlegen, ob deine Menge ein Vektorraum sein kann oder nicht.

12.01.2013, 12:14

Monsterin

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Also vielen Dank für Eure Antworten und Hilfestellung Freude

Nach langem Übergelen und besprechen mit einer Freundin, ist mir auch mal ein Licht aufgegangen (besser spät, wie nie) Tanzen

Weiß nun auch wie ihr das mit dem $\begin{eqnarray*} ...\bigcup \left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ gemeint habt ... hatte dezent ignoriert dass die $\begin{eqnarray*} \left\{ ...\right\} \end{eqnarray*}$ klammern sich dazwischen noch schließen und hatte die $\begin{eqnarray*} \left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ deshalb als versucht auf die Formel $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = 1 \end{eqnarray*}$ zu beziehen.

Aber wie gesagt, endlich hab auch ichs gerafft. Hammer

Vielen Dank!

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