Primfaktorzerlegung der ganzen Gaußschen Zahlen

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Z[i] Problem Auf diesen Beitrag antworten »
Primfaktorzerlegung der ganzen Gaußschen Zahlen
Meine Frage:
Hallo,
ich sitze gerade an der Primfaktorzerlegung der Zahl 17 + 19i in Z[i] und komme bei meiner Lösung nicht weiter.
Über Hilfen und Anregungen wäre ich sehr dankbar!!! ;-)

Meine Ideen:
(17+19i)*(17-19i) = 650 = 2 * 5^2 * 13
Dies ist die Primfaktorzerlegung der Norm.
Für die jeweiligen Faktoren gilt:

2 = (1+i)*(1-i)

13 = (3+2*i)*(3-2*i)

5 = (2+i)*(2-i)

Hier ist bereits meine erste Frage: Reicht es aus, dass ich die Zahl 5 betrachte? Denn es handelt sich ja um die Zahl 25 (PFZ).

Nun bastele ich an möglichen Kombinationen rum: z.B.

(1+i)(3+2i)(2+i) = ...
und soweit ich weiß, muss das Ergebnis assoziiert zum Ursprungselement 17+19i sein. Komme aber auf kein Ergebnis :-(
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Primfaktorzerlegung der ganzen Gaußschen Zahlen
Zunächst einmal ist deine Priomfaktorzerlegung richtig, da alls in der Primfaktorzerlegung der Norm auftauschenden Primzahle äquivalent zu 1 modulo 4 sind.

Die 5 taucht mit der Vielfachheit 2 auf, also benötigst du auch zwei Primfaktoren der 5 in Z[i].

Es können nicht beide verschiedenen sein, da und du dann eine Glecihung haben würdest mit a' und b' sind durch 5 teilbar, das erfüllt deine Ausgangszahl nicht.

Ferner muss man nur einen der beiden Faktoren (1+i) oder (1-i) testen, da und

Damit lassn sich schon mal recht leicht einige Kombinationen prüfen.

Was also verbleibt zu prüfen?

Das ist:





und die beiden Varianten





Wenn man bei beiden zuerst den Ausdruck in den eckigen Klammern ausrechnet kann man wie oben beschrieben auf die jeweiligen Ausdrücke mit (1-i) schließen.
Z[i] Problem Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen lieben Dank für die ausführlichen Infos!!!!!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Hat es denn weiter geholfen?

Hast du ein Ergebnis?
Z[i] Problem Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nun raus, dass es nur die Kombi

[(2-i)^2*(3-2i)](1+i)

sein kann, da alle anderen Kombis nicht zur Ausgangszahl assoziiert sind.
Die Quotienten liegen dort nämlich nicht in Z[i].

Kannst du das bestätigen?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, es ist



Dieser Ausdruck unbterscheidet sich lediglich um die Einheit von der Ausgangszahl, es ist .
 
 
Z[i] Problem Auf diesen Beitrag antworten »

Also nochmals: Herzlichen Dank!!!! :-)
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne wiede, bis bald Wink
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