Primfaktorzerlegung der ganzen Gaußschen Zahlen |
10.01.2013, 11:27 | Z[i] Problem | Auf diesen Beitrag antworten » |
Primfaktorzerlegung der ganzen Gaußschen Zahlen Hallo, ich sitze gerade an der Primfaktorzerlegung der Zahl 17 + 19i in Z[i] und komme bei meiner Lösung nicht weiter. Über Hilfen und Anregungen wäre ich sehr dankbar!!! ;-) Meine Ideen: (17+19i)*(17-19i) = 650 = 2 * 5^2 * 13 Dies ist die Primfaktorzerlegung der Norm. Für die jeweiligen Faktoren gilt: 2 = (1+i)*(1-i) 13 = (3+2*i)*(3-2*i) 5 = (2+i)*(2-i) Hier ist bereits meine erste Frage: Reicht es aus, dass ich die Zahl 5 betrachte? Denn es handelt sich ja um die Zahl 25 (PFZ). Nun bastele ich an möglichen Kombinationen rum: z.B. (1+i)(3+2i)(2+i) = ... und soweit ich weiß, muss das Ergebnis assoziiert zum Ursprungselement 17+19i sein. Komme aber auf kein Ergebnis :-( |
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10.01.2013, 12:44 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Primfaktorzerlegung der ganzen Gaußschen Zahlen Zunächst einmal ist deine Priomfaktorzerlegung richtig, da alls in der Primfaktorzerlegung der Norm auftauschenden Primzahle äquivalent zu 1 modulo 4 sind. Die 5 taucht mit der Vielfachheit 2 auf, also benötigst du auch zwei Primfaktoren der 5 in Z[i]. Es können nicht beide verschiedenen sein, da und du dann eine Glecihung haben würdest mit a' und b' sind durch 5 teilbar, das erfüllt deine Ausgangszahl nicht. Ferner muss man nur einen der beiden Faktoren (1+i) oder (1-i) testen, da und Damit lassn sich schon mal recht leicht einige Kombinationen prüfen. Was also verbleibt zu prüfen? Das ist: und die beiden Varianten Wenn man bei beiden zuerst den Ausdruck in den eckigen Klammern ausrechnet kann man wie oben beschrieben auf die jeweiligen Ausdrücke mit (1-i) schließen. |
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10.01.2013, 15:46 | Z[i] Problem | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen lieben Dank für die ausführlichen Infos!!!!! |
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10.01.2013, 16:02 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hat es denn weiter geholfen? Hast du ein Ergebnis? |
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10.01.2013, 16:30 | Z[i] Problem | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich habe nun raus, dass es nur die Kombi [(2-i)^2*(3-2i)](1+i) sein kann, da alle anderen Kombis nicht zur Ausgangszahl assoziiert sind. Die Quotienten liegen dort nämlich nicht in Z[i]. Kannst du das bestätigen? |
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10.01.2013, 17:23 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » |
Jap, es ist Dieser Ausdruck unbterscheidet sich lediglich um die Einheit von der Ausgangszahl, es ist . |
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10.01.2013, 17:25 | Z[i] Problem | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also nochmals: Herzlichen Dank!!!! :-) |
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10.01.2013, 17:40 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » |
Gerne wiede, bis bald |
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