Schnittpunkt Gerade und Ebene

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LybLyb Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittpunkt Gerade und Ebene
Meine Frage:
Berechnen Sie, in welchem Punkt eine Gerade, die senkrecht auf der Ebene steht und durch den Ursprung geht, die Ebene schneidet.

Die Ebene lautet: e(r,s) = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}

Ich habe Ideen dazu, weiß aber absolut nicht ob das richtig ist

Meine Ideen:
Mein Ansatz wäre nun gewesen, dass ich den Normalenvektor der Ebene berechne, denn dieser steht schließlich senkrecht auf der Ebene, dann
hätte ich die Koordinatenform der Ebene berechnet:

Normalenvektor = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} X \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}
Normalenvektor = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}

Den Normalenvektor verwende ich also als Richtungsvektor der Gerade.

Jetzt Koordinatendarstellung von E:

x -3y + 2z = 1 (1 habe ich errechnet durch Normalenvektor * Ortsvektor der Ebene)

Die Gerade lautet g(t) = o + t * \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}. Nun setze ich die Punkte x=t, y=-3t und z=2t in die Ebenengleichung ein:

t - 3(-3t) + 2(2t) = 1
t = 1/14

Der Schnittpunkt wäre also \begin{pmatrix} 1/14 \\ -3/14 \\ 2/14 \end{pmatrix}

Ich bin mir aber absolut nicht sicher ob das richtig ist.
zyko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkt Gerade und Ebene
Aus dem Kreuzprodukt der Ebenenvektoren

entsteht der Normalenvektor. Diesen kann man evtl. noch zur Länge 1 normieren.
Um den Durchstoßpunkt der Geraden vom Nullpunkt parallel zur Ebenennormalen zu erhalten, bildest du die Gleichung zwischen einem Vielfachen des Normalenvektors mit einem Punkt der Ebene. Du hast darin drei Unbekannte, das Vielfache des Normalenvektors und die Faktoren r und s der Ebene. Diese sind aus den drei Gleichungen zu bestimmen.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkt Gerade und Ebene
alles Freude
LybLyb Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe ich nicht unglücklich

Ist der Weg, den ich beschrieben habe also komplett falsch?
Kann ich nicht als Richtungsvektor der Geraden den Normalenvektor der Ebene verwenden?
Kann ich nicht anschließend die Koordinatenform der Ebene berechnen und dann die drei unbekannten t, -3t und 2t in die Ebenengleichung einsetzen?
LybLyb Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkt Gerade und Ebene
Zitat:
Original von riwe
alles Freude


Na wenn das so ist Big Laugh
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