Bijektive Abbildung finden

10.01.2013, 19:56

Timbonane

Bijektive Abbildung finden

Hallo!

Meine Aufgabe sieht folgendermaßen aus:

Es sei K ein Körper mit unendlich vielen Elementen, $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ , und
$\begin{eqnarray*} t_0,t_1,....,t_n \end{eqnarray*}$ paarweise verschiedene Elemente aus K.
Zeigen Sie: Zu jedem $\begin{eqnarray*} (y_0,y_1,....y_n)^{T} \in K^{n+1} \end{eqnarray*}$ existiert genau ein $\begin{eqnarray*} p \in \mathcal P_n \end{eqnarray*}$
sodass $\begin{eqnarray*} p(t_i)=y_i, i=0,1,....,n \end{eqnarray*}$

So, ich habe leider keinen wirklichen Ansatz hierzu, weil ich mir schon bei der Interpretation der Angabe relativ schwer tu....mit $\begin{eqnarray*} p(t_i) \end{eqnarray*}$ sind einfach polynome aus dem Raum der Polynome $\begin{eqnarray*} \mathcal P_n \end{eqnarray*}$ gemeint, oder? $\begin{eqnarray*} \mathcal P_n \end{eqnarray*}$ ist doch der Raum der Polynome, oder?
Was ich jetzt zeigen muss ist dann also, dass ich jedem Tupel aus $\begin{eqnarray*} K^{n+1} \end{eqnarray*}$ genau ein Polynom zuordnen kann?
Könnte ich das nicht irgendwie darüber machen, dass ein Polynom eindeutig durch seine Koeffizienten bestimmt ist? Also die Koeffizienten sind dann quasi meine Komponenten des Tupels?

Dankeschön im Voruas für jegliche Tipps!

11.01.2013, 09:20

Timbonane

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RE: Bijektive Abbildung finden
Morgen!
Liegt es an meiner Fragestellung? Ist die Angabe unkorrekt, oder hab ich aus Unwissen sowieso einen Blödsinn hingeschrieben?

Würde mich weiterhin über jeden Tipp/Anregung sehr freuen!
Stecke momentan in einer Denk-Sackgasse :/

lg

11.01.2013, 09:38

Mazze

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Zitat:

Könnte ich das nicht irgendwie darüber machen, dass ein Polynom eindeutig durch seine Koeffizienten bestimmt ist?

Ja das geht. Die Gleichungen $\begin{eqnarray*} p(t_i) = y_i \end{eqnarray*}$ sind alles Gleichungen der Form

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n t_0^i a_i = y_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n t_1^i a_i = y_1 \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n t_n^i a_i = y_n \end{eqnarray*}$

Jetzt ist die Frage ob dieses (lineare) Gleichungssystem (in den koeffizienten von p) für alle $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb{K}^{n+1} \end{eqnarray*}$ und für alle paarweise verschiedenen $\begin{eqnarray*} t_i \end{eqnarray*}$ stets eindeutig lösbar ist. Wenn ja, ist die Aussage bewiesen.

11.01.2013, 09:50

Timbonane

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Danke für die Antwort!

Eine Frage hab ich noch bevor ich versuch, das ganze zu beweisen:

Was ist mit paarweise verschieden gemeint?

lg und danke!

11.01.2013, 11:03

Mazze

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Das sämtliche $\begin{eqnarray*} t_i \end{eqnarray*}$ paarweise unterschiedlich sind.

paarweise verschieden:

$\begin{eqnarray*} t_1 = 1, t_2 = 3 , t_3 = -1 \end{eqnarray*}$

nicht paarweise verschieden

$\begin{eqnarray*} t_1 = 1, t_2 = 3, t_3 = 1 \end{eqnarray*}$

11.01.2013, 13:46

Timbonane

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Im Prinzip könnte ich das ganze doch über einen Isomorphismus zeigen, oder?

Also wenn ich jetzt die Basis $\begin{eqnarray*} \lbrace1,t,t^2,t^3,...,t^n\rbrace \end{eqnarray*}$ hernehme, und die Basis in $\begin{eqnarray*} \mathcal K^{n+1}=\lbrace e_1,e_2,.....e_{n+1}\rbrace \end{eqnarray*}$ dann könnte ich ja jedes Polynom der Form

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n t_0^i a_i \end{eqnarray*}$ in einen Vektor der Form $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n e_i a_i \end{eqnarray*}$ "umwandeln".

Dann müsste ich noch die Linearität zeigen, sowie dass die Abbildung bijektiv ist, oder?

Hattest du das mit deinem Tipp gemeint?

Ich weis zwar, wann ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, aber ich habe keine Ahnung wie ich diese Ganzen Gleichungen dann schön anschreiben könnte, bzw wie ich diese in einer Matrix anschreiben kann..
Wir haben in der Vorlesung noch wenig bis gar nichts zum Vektorraum der Polynome gemacht, deshalb tu ich mir da etwas schwer :/

Danke, und lg

11.01.2013, 14:08

Mazze

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Zitat:

Im Prinzip könnte ich das ganze doch über einen Isomorphismus zeigen, oder?

Ich sehe nicht wie Dich das weiter bringt. Du hättest dann gezeigt, dass Du jedes Polynom durch einen entsprechenden Vektor (eindeutig) ausdrücken kannst. Das ist etwas anderes als das, was Du zeigen sollst.

Zitat:

aber ich habe keine Ahnung wie ich diese Ganzen Gleichungen dann schön anschreiben könnte, bzw wie ich diese in einer Matrix anschreiben kann..

Ich würde einfach klein Anfangen um eine Idee zu bekommen:

n = 2, dann haben wir

$\begin{eqnarray*} p = a_3x^2 + a_2x + a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_1,t_2,t_3 \end{eqnarray*}$

Dann betrachten wir das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & t_0 & t_0^2 \\ 1 & t_1 & t_1^2 \\ 1 & t_2 & t_2^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

erste Umformungsschritt :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & t_0 & t_0^2 \\ 0 & t_1 - t_0 & t_1^2 - t_0^2 \\ 0 & t_2 - t_0 & t_2^2 - t_0^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 - y_1 \\ y_3 - y_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zweite Umformungsschritt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & t_0 & t_0^2 \\ 0 & t_1 - t_0 & t_1^2 - t_0^2 \\ 0 & 0 & (t_2 - t_0)(t_2 - t_1) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 - y_1 \\ y_3 - y_1 - (y_2 - y_1)\frac{t_2 - t_0}{t_1 - t_0} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, die Determinante der Matrix ist also $\begin{eqnarray*} (t_1 - t_0)(t_2 - t_0)(t_2 - t_1) \end{eqnarray*}$ und Damit ungleich 0 (wegen der paarweise Verschiedenheit). Damit ist das Gleichungsystem für alle y eindeutig lösbar. Damit wäre die Aussage für n = 2 gezeigt.

Ich würde direkt mal schauen, wie die Struktur der Determinante für n = 3 aussieht. Vielleicht erkennt man ein Muster dass man dann mit vollständiger Induktion beweisen kann. Oder man rechnet direkt mit Gauß auf der n x n - Matrix.

11.01.2013, 14:12

Timbonane

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Ahh ok, ich denke ich werds mal versuchen über eine Induktion zu lösen, das trau ich mir auf jeden Fall zu!

Wir haben in der Vo noch keine Determinanten besprochen, das kommt erst in den nächsten 1-2 Wochen, aber ich denke wenn ich über die Zeilen-Stufen-Form argumentiere läufts dann eh auf das selbe raus!?

Ich werd mich da jetzt mal dahinterklemmen, und wenn ich auf was anständiges komme würd ich mich wieder melden, vielen Dank für die Tipps!

11.01.2013, 17:36

Leopold

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Wie diese Aufgabe zu lösen sein soll, wenn man in der Linearen Algebra noch nicht so weit ist, weiß ich nicht. Es läuft ja auf die Vandermondesche Determinante hinaus.

Nun, hier geht es um Interpolation. Eine mögliche Lösung geht über die Lagrangesche Interpolationsformel.

11.01.2013, 21:16

Timbonane

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So, nach durchlesen von dem Wikipedia-Artikel, herumtesten etc, bin ich jetzt zu dem Entschluss gekommen, dass ich das Beispiel am für mich verständlichsten zu lösen ist, indem ich zeige, dass Diese Newton-Polynome eine Basis des P_n darstellen, und dann mit diesen die Matrix darstelle, denn wenn ich dort dann diese untere Dreiecksmatrix stehen hab, kann ich auf jeden Fall argumentieren dass dieses Gleichungssystem eindeutig lösbar ist!

Ich habe jetzt auch schon bewiesen, dass diese Polynome eine Basis des P_n darstellen, d.h. dass sie l.u. sind, und ein Erzeugendensystem bilden.

Meine Frage ist jetzt: muss ich dann auch noch eine Basistransformation von der "Einheitsbasis" in die Newton-Basis machen?

D.h. muss ich noch eine Basis-Transformations-Matrix aufstellen?

Falls nicht, würd ich mich trotzdem freuen wenn mir jemand eine Hilfestellung geben könnte, weil ich dabei noch relativ schwach auf der Brust bin...

Ich werd mal versuchen, so eine Matrix aufzustellen, und würde mich wieder melden wenn ich gar nicht mehr weiter weis Big Laugh

Danke!

12.01.2013, 11:59

Timbonane

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Guten Morgen!

Ich habe jetzt grade mal versucht, eine Basistransformations-matrix aufzustellen.

Und zwar hab ich als Basis $\begin{eqnarray*} B:=\lbrace 1,t^2,t^3\rbrace \end{eqnarray*}$ angenommen, und als
Basis $\begin{eqnarray*} C:=\lbrace 1,(t-1),(t-1)(t-2),(t-1)(t-2)(t-3)\rbrace \end{eqnarray*}$ angenommen.
D.h. Basis C ist dann ausgerechnet $\begin{eqnarray*} \lbrace 1,(t-1),(t^2-3t+2),(t^3-6t^2+11t-6)\rbrace \end{eqnarray*}$

Für eine Basistransformation muss ich ja die neue Basis durch eine Linearkombination der alten Basis darstellen, d.h.

$\begin{eqnarray*} 1=1*b_1\\<br /> t-1=-1*b_1+1+b_1\\<br /> t^2-3t+2=2b_1-3b_2+1b_3\\<br /> t^3-6t^2+11t-6=-6b_1+11b_2-6b_3+1b_4 \end{eqnarray*}$

Wenn ich das jetzt in eine Matrix übertrage, hab ich dann stehen
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0&0&0\\ -1 & 1&0&0\\2 & -3&1&0\\-6 & 11&-6&1\\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn ich diese Matrix jetzt transponiere, dann hab ich
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 &-1&2&-6\\ 0 & 1&-3&11\\0 & 0&1&-6\\0 & 0&0&1\\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

welches meine Transformationsmatrix ist....
stimmt das so? Ich bin mir einfach nicht sicher, wie ich die Einträge aus der Linearkombination richtig in die Matrix eintrage...

12.01.2013, 12:05

tmo

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Zitat:

Original von Leopold
Wie diese Aufgabe zu lösen sein soll, wenn man in der Linearen Algebra noch nicht so weit ist, weiß ich nicht.

Ich weiß ja nicht, wo man "1-2 Wochen" vor der Determinante so in Linearer Algebra ist, aber ich würde noch folgenden Vorschlag machen:

Man betrachtet die Abbildung

$\begin{eqnarray*} \varphi: \mathcal P_N \to \mathbb R^{n+1}, p \mapsto (p(t_0), \dotsc, p(t_1)) \end{eqnarray*}$

und zeigt, dass es ein Vektorraumisomorphismus ist (was natürlich äquivalent zur Behauptung in der Aufgabe ist). Die Surjektivität kriegt man natürlich geschenkt, wenn man die Linearität und die Injektivität gezeigt hat.

Einfacher geht es mMn nach nicht.

12.01.2013, 12:14

Timbonane

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Wir haben im moment eben Koordinaten besprochen, und bzgl Matrizen kennen wir die Addition, Multiplikation, und die Inverse einer Matrix, Vektorraumisomorphismen etc. haben wir auch schon durchbesprochen.

12.01.2013, 12:27

Leopold

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Ich würde hier Lagrange vorziehen. Für das Polynom $\begin{eqnarray*} L_i(t), \, 0 \leq i \leq n \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} L_i(t) = \prod_{j=1 \atop j \neq i}^n \frac{t - t_j}{t_i - t_j} \end{eqnarray*}$

sieht man unmittelbar: $\begin{eqnarray*} L_i(t_i) = 1 \end{eqnarray*}$ (alle Brüche oben sind $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ) und $\begin{eqnarray*} L_i(t_k) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k \neq i \end{eqnarray*}$ (der Zähler mit dem Index $\begin{eqnarray*} j=k \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ).

Jedes $\begin{eqnarray*} L_i(t) \end{eqnarray*}$ ist vom Grad $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Daher ist

$\begin{eqnarray*} p(t) = \sum_{i=0}^n y_i L_i(t) \end{eqnarray*}$

von einem Grad $\begin{eqnarray*} \leq n \end{eqnarray*}$ oder das Nullpolynom. Daß das Polynom die Aufgabe löst, ist leicht zu sehen. Einsetzen. Ausrechnen.

Die Eindeutigkeit des Polynoms erfolgt direkt mit einer Gradbetrachtung. Wenn $\begin{eqnarray*} p(t),q(t) \end{eqnarray*}$ zwei Polynome sind, die die Aufgabe lösen, dann betrachte das Differenzpolynom $\begin{eqnarray*} d(t) = p(t)-q(t) \end{eqnarray*}$ .

i) Was weißt du über den Grad von $\begin{eqnarray*} d(t) \end{eqnarray*}$ ?
ii) Wie viele Nullstellen hat $\begin{eqnarray*} d(t) \end{eqnarray*}$ ?

Wie sind i) und ii) in Übereinklang zu bringen?

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