Grenzwerte für x->x0

11.01.2013, 12:50

StevenSpielburg

Auf diesen Beitrag antworten »

Grenzwerte für x->x0

Hallo, ich habe mal ein paar Fragen zu manchen Aufgaben, komme dort nicht weiter...hier erstmal die Aufgaben:

1) $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to 1} \frac{x^{n} -1}{x-1} \end{eqnarray*}$ (neN)

2) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} (\frac{1}{1-x} -\frac{3}{1-x^{3} } ) \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x}-1 }{x} \end{eqnarray*}$

Eigentlich habe ich bei allen das gleiche Problem...ich komme bei der Umformung nicht weiter, ich darf l'hopital nicht benutzen und ich weiß nicht, wie ich sonst auf das ergebnis kommen soll...habt ihr eine idee? bzw. ansatz für mich?

11.01.2013, 13:02

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwerte für x->x0
1) erledigt $\begin{eqnarray*} a^n-b^b=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}+b\ldots+b^{n-1}) \end{eqnarray*}$
das ist bei 2) auch nützlich
Bei 3) die dritte binomische Formel

11.01.2013, 13:10

StevenSpielburg

Auf diesen Beitrag antworten »

okay könntest du 1) und 2) vllt nochmal anders oder ausführlicher erklären? sagt mir so nichts was da steht...

11.01.2013, 13:12

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwerte für x->x0

Zitat:

Original von StevenSpielburg
Hallo, ich habe mal ein paar Fragen zu manchen Aufgaben, komme dort nicht weiter...hier erstmal die Aufgaben:

1) $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to 1} \frac{x^{n} -1}{x-1} \end{eqnarray*}$ (neN)

Bei 1) geht ja $\begin{eqnarray*} n \to 1 \end{eqnarray*}$ , d.h., das ist überhaupt vollkommen harmlos, da man nur n=1 einzusetzen braucht...

Edit: Sollte aber in Wahrheit $\begin{eqnarray*} x \to 1 \end{eqnarray*}$ gemeint sein (solche Schlampigkeitsfehler kommen ja leider immer wieder mal vor! unglücklich

unglücklich

), so geht es hier einfach um die Ableitung von $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ an der Stelle x=1, geschrieben als Grenzwert des Differenzenquotienten...

11.01.2013, 13:14

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1) Wende den Hinweis auf den Zähler an.
Ich gehe übrigens davon aus, dass es $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{x^{n} -1}{x-1} \end{eqnarray*}$ heißt, sonst wäre das allzu einfach Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.01.2013, 13:16

StevenSpielburg

Auf diesen Beitrag antworten »

entschuldigung natürlich x->1
mh...kannst du diesen hinweis vielleicht nochmal aufschlüsseln? weiß nichts damit anzufangen...

Anzeige

11.01.2013, 13:23

StevenSpielburg

Auf diesen Beitrag antworten »

habe ich dann sowas im zähler stehen?

$\begin{eqnarray*} (x-1)(x^{n-1}+1) \end{eqnarray*}$

11.01.2013, 13:26

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Liegt viell daran, dass ich ziemlich Mist geschrieben habe. Es muss heißen
$\begin{eqnarray*} a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots+ab^{n-2}+b^{n-1}) \end{eqnarray*}$

11.01.2013, 13:29

StevenSpielburg

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwerte für x->x0

Zitat:

Original von Mystic
Edit: Sollte aber in Wahrheit $\begin{eqnarray*} x \to 1 \end{eqnarray*}$ gemeint sein (solche Schlampigkeitsfehler kommen ja leider immer wieder mal vor! unglücklich

unglücklich

)

ja ist leider passiert, soll x->1 heißen

Zitat:

so geht es hier einfach um die Ableitung von $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ an der Stelle x=1, geschrieben als Grenzwert des Differenzenquotienten...

ich darf l'hopital nicht benutzen, wie oben auch schon beschrieben...

11.01.2013, 13:31

StevenSpielburg

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von URL
Liegt viell daran, dass ich ziemlich Mist geschrieben habe. Es muss heißen
$\begin{eqnarray*} a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots+ab^{n-2}+b^{n-1}) \end{eqnarray*}$

okay was bedeutet das dann bezogen auf mein Problem?
wie kann ich sowas umschreiben?

$\begin{eqnarray*} x^n-1^n=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}1+\ldots+x1^{n-2}+1^{n-1}) \end{eqnarray*}$
...

11.01.2013, 13:35

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du so machen.
Mystics Hinweis hat übrigens gar nichts mit l'Hospital zu tun sondern nur mit der Definition der Ableitung.

11.01.2013, 13:38

StevenSpielburg

Auf diesen Beitrag antworten »

achso ich dachte er meinte lhopital...sry
okay also versuche ich das mal weiter zu führen....

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{x^{n} -1}{x-1} = \frac{(x-1)*(x^{n-1}+....+1) }{x-1} = \lim_{x \to 1}(x^{n-1}+...+1) =...? \end{eqnarray*}$

11.01.2013, 13:40

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Wohin ist der lim verschwunden?

11.01.2013, 13:43

StevenSpielburg

Auf diesen Beitrag antworten »

den muss man sich dazu denken Augenzwinkern

Augenzwinkern

nein klar immer noch mit limes...

aber wie gehts jetzt weiter? aus diesem ausdruck den limes bestimmen stelle ich mir irgendwie schwierig vor? vllt siehts ja auch nur so aus

11.01.2013, 13:53

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Den Grenzwert auf der rechten Seite wirst du doch berechnen können....

11.01.2013, 13:58

StevenSpielburg

Auf diesen Beitrag antworten »

ja sieht für mich aus wie 1+1+1+1+1+1.... also unendlich?
bzw. n?

11.01.2013, 14:05

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie viele Summanden hast du denn?

11.01.2013, 14:10

StevenSpielburg

Auf diesen Beitrag antworten »

okay kannst du mir vllt nochmal die logik deines verfahrens sagen? ich blicke es noch nicht ganz. wie kann ich jetzt wissen wie viele summanden ich habe usw.?
Ich verstehe das System noch nicht hinter dem Ausdruck.

11.01.2013, 14:14

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest dir das doch mal für kleine Werte von n aufschreiben. Dann siehst die Systematik vermutlich selbst

11.01.2013, 14:17

StevenSpielburg

Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich habe immer 1 hoch irgendeinen exponenten, was ja ziemlich egal ist

11.01.2013, 14:18

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich meinte oben die Definition der Ableitung einer Funktion f(x) an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=x_0 \end{eqnarray*}$ , welche lautet

$\begin{eqnarray*} f'(x_0)=\lim_{x\to x_0} \frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

wobei hier natürlich $\begin{eqnarray*} f(x)=x^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0=1 \end{eqnarray*}$ ist...

11.01.2013, 14:20

StevenSpielburg

Auf diesen Beitrag antworten »

da wir ableitungen in mathe 1 gar nicht behandeln kommt diese vorgehensweise leider nicht in frage, dort wird im skript nie etwas von differentenquotienten o.ä. gesagt. allerdings finde ich die andere lösung von url auch ziemlich kompliziert, bzw. schwer zu verstehen, gibt es evtl noch einen komplett anderen ansatz, womit man leicht und schnell zum ziel kommen könnte?

11.01.2013, 14:25

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} x^2-1=(x-1)(x+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^4-1=(x-1)(x^3+x^2+x+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) \end{eqnarray*}$

und damit bin ich raus

11.01.2013, 14:30

StevenSpielburg

Auf diesen Beitrag antworten »

und jetzt möchtest du mir sagen, dass da 0 rauskommt?
als ergebnis steht bei uns in der lösung "n"

11.01.2013, 14:57

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von StevenSpielburg
und jetzt möchtest du mir sagen, dass da 0 rauskommt?

Wie kannst du so einen Unfug aus den Beiträgen vonl URL folgern? unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von URL (modifiziert)
$\begin{eqnarray*} x^2-1=(x-1)\underbrace{(x+1)}_{2~\textrm{Summanden}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^3-1=(x-1)\underbrace{(x^2+x+1)}_{3~\textrm{Summanden}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^4-1=(x-1)\underbrace{(x^3+x^2+x+1)}_{4~\textrm{Summanden}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^5-1=(x-1)\underbrace{(x^4+x^3+x^2+x+1)}_{5~\textrm{Summanden}} \end{eqnarray*}$

Demnach

$\begin{eqnarray*} x^n-1=(x-1)\underbrace{(x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots+x+1)}_{{\color{red}?}~\textrm{Summanden}} \end{eqnarray*}$

11.01.2013, 15:00

StevenSpielburg

Auf diesen Beitrag antworten »

demnach sind das ja n summanden...
und was kann ich damit jetzt anfangen?

11.01.2013, 15:55

Shortstop

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst auch die Formel für die Partialsummen der geometrischen Reihe benutzen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1} x^k=\frac{x^n-1}{x-1} \ , \ x \neq 1 \end{eqnarray*}$

11.01.2013, 16:21

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von StevenSpielburg
demnach sind das ja n summanden...
und was kann ich damit jetzt anfangen?

Es ist jetzt natürlich ungeheuer schwer zu berechnen, wie dann beim Grenzübergang $\begin{eqnarray*} x\to 1 \end{eqnarray*}$ die Summe der entstehenden $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Einsen lautet...

14.01.2013, 13:29

StevenSpielburg

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Demnach

$\begin{eqnarray*} x^n-1=(x-1)\underbrace{(x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots+x+1)}_{{\color{red}?}~\textrm{Summanden}} \end{eqnarray*}$

Okay wenn ich jetzt x->1 laufen lasse, würde ja die erste Klammer 0 werden
und somit der gesamte Ausdruck 0 werden?
Falls das nicht so ist, verstehe ich diese Methode noch nicht so ganz...

14.01.2013, 13:34

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Du tust gerade so, als ginge es darum

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} (x^n-1) \end{eqnarray*}$

zu berechnen, was ja tatsächlich 0 ist... Has du eigentlich ganz vergessen, dass es um den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{x^n-1}{x-1} \end{eqnarray*}$

geht???

14.01.2013, 13:45

StevenSpielburg

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ist der Groschen gefallen Gott

Gott

Vielen Dank!

14.01.2013, 14:02

StevenSpielburg

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay damit hätten wir die 1) und die 3)
Es wurde am Anfang gesagt, dass ich diese Methode auch bei der 2) anwenden könnte. Hier nochmal die Aufgabe:

2) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} (\frac{1}{1-x} -\frac{3}{1-x^{3} } ) \end{eqnarray*}$

Ich denke mal, dass das so gemeint war?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{1}{1-x} -\frac{3}{1-x^{3} } = \lim_{x \to 1} \frac{1}{-(-1+x)} -\frac{3}{-(x-1)*(x^{2}+x+1) } \end{eqnarray*}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »