Maßintegral berechnen

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Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »
Maßintegral berechnen
Hallo zusammen,

hab noch so meine Probleme beim Berechnen von Maßintegralen. Für einfache Funktionen ist es kein Ding, d.h. für Elementarfunktionen oder auch für solche numerische Funktionen, die ich über eine Folge von Elementarfunktionen approximieren kann.

Jetzt habe ich aber folgende Aufgabe bekommen, die mich etwas überfordert:

Ich betrachte ein Wahrscheinlichkeitsraum.

Sei .

Nun möchte ich sowohl (falls existent) als auch berechnen.

Wie ich das aber nun genau anstelle weiß ich leider nicht so genau.

Für den ersten Teil dachte ich daran, dass ich das ja als monoton wachsende Folge messbar numerischer Funktionen sehen kann, die gegen konvergiert.

Viel mehr ist mir bisher leider aber noch nicht eingefallen.



Oh und außerdem noch ein Problem:

Betrachte ich nun als Maßraum mit dem Lebesgue Maß.

Welchen Wert hat ?


Vielen Dank schon mal!

Mfg, Mandelbrötchen Wink
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maßintegral berechnen
Ist zum ersten Teil denn ein konkretes Wahrscheinlichkeitsmaß gegeben? Ohne das kann man da nicht viel ausrechnen.

Und bei der zweiten Aufgabe solltest du erst einmal ausrechnen.
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ein konkretes Wahrscheinlichkeitsmaß ist nicht gegeben, man weiß nur, dass mit anderen Worten also, dass P-integrierbar ist.

Gibt es denn eine Möglichkeit das ganze umzuschreiben (bzw. könnten wir das hier exemplarisch für ein einfaches Wahrscheinlichkeitsmaß machen?).

ist ja genau das Problem.
Ich dachte an (wobei ich nicht weiß wie das zu interpretieren ist) und da bin ich mir nicht sicher, denn wenn das so stehen bleibt, kann ich das Integral davon nicht bestimmen.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mandelbrötchen
Ein konkretes Wahrscheinlichkeitsmaß ist nicht gegeben, man weiß nur, dass mit anderen Worten also, dass P-integrierbar ist.

Na dann berechne mal die Grenzfunktion von .

Zitat:
ist ja genau das Problem.
Ich dachte an (wobei ich nicht weiß wie das zu interpretieren ist) und da bin ich mir nicht sicher, denn wenn das so stehen bleibt, kann ich das Integral davon nicht bestimmen.

Setze doch einen Punkt ein und berechne für festes .
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ah stimmt, hier geht es ja um punktweise Konvergenz.



Nun, wenn ich mir die Grenzwerte der Funktionen für festes ansehe, dann bekomme ich ja leicht folgendes:



Denn für fest wähle s.d. .


Das heißt ich kann auf alle Fällt sagen, dass
Sind noch genauere Aussagen möglich?

Und wie bestimme ich dann ?




Für folgt dann mit ähnlichen Überlegungen wie eben:

Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und .

Jetzt kannst du auch anders schreiben. Danach kannst du den Satz über monotone Konvergenz anwenden.
 
 
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wenn ich doch den Grenzwert kenne, dann kann ich doch schreiben:



Und mit dem Satz über monotone Konvergenz könnte ich jetzt eine Funktionenfolge suchen, die monoton gegen konvergiert und die ich möglichst integrieren kann und damit das Integral berechnen.

Da fällt mir spontan aber keine ein bzw. denke ich erst mal an leider weiß ich hier nicht, wie ich es recht integrieren soll.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst nicht berechnen, da du das Maß nicht kennst.
Aber es geht ja noch um .
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ah so, gut, wenn das so gemeint war.

Dann muss ich jetzt also - formell - noch zeigen, dass die Folge monoton wachsend ist.
Das sollte ja aber punktweise gut möglich sein - zumindest wie ich das gerade im Moment sehe.

Und dann kann ich damit natürlich direkt sagen, dass


Perfekt.


Trotzdem bleibt mir noch die Frage, wie ich das Integral für ein gegebenes Wahrscheinlichkeitsmaß bestimmen würde.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das kommt auf das Wahrscheinlichkeitsmaß an. Hast du denn ein bestimmtes im Sinn?
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, kein bestimmtes.

Mir geht es nur darum, dass wir bisher Maßintegrale nur für Elementarfunktionen berechnet haben (also positive, messbare Funktionen, die nur endlich viele Werte annehmen) und eben solche Funktionen, die man als Grenzwert von Elementarfunktionen schreiben kann.

Finde es einfach unpraktisch zur Berechnung immer eine Folge von Elementarfunktionen konstruieren zu müssen - deswegen die Frage.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn das Maß absolutstetig bezüglich des Lebesgue-Maßes ist, kann man mit einer Dichte integrieren. Für diskrete Maße (Linearkombinationen aus Dirac-Maßen) summiert man die entsprechenden Funktionswerte auf.
Ein allgemeines Rezept gibt es aber nicht.
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ersteres sagt mir nicht wirklich viel, da ich bisher noch nichts von Dichten gehört habe.

Letzteres ist mir absolut klar. Das ist ja dann die eher einfache Version.

Danke dir auf jeden Fall für die Hilfe! Hat mir wirklich weiter geholfen Freude
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ihr noch keine Integrale von "nicht-Elementarfunktionen" berechnet habt, dann versuch das am besten noch nicht. Das werdet ihr sicher noch tun.
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