Determinante berechnen

12.01.2013, 21:09

donpain

Determinante berechnen

Guten Abend alle zusammen!

Ich habe mit folgender Aufgabe ein Problem.

Die Aufgabe:
Gegeben sei die Matrix $\begin{eqnarray*} A_n= (a_{ij} )\in \mathbb Q^{n\times n} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a_{ij} := \end{eqnarray*}$ 3, wenn i=j und sonst 1; für alle $\begin{eqnarray*} i,j\in \left\{1,...,n\right\} \end{eqnarray*}$ .

Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} det(A_n) \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von n.

(Tipp vom Tutor: Überlegen Sie, wieviele elementare Zeilenumformungen nötig sind, um die Matrix auf obere Dreiecksform zu bringen.)

Meine Ideen:
Ich bin die Fälle n=2, n=3, n=4 und n=5 durchgegangen und habe mir die Matrix, die Anzahl an benötigten Zeilenumformungen, die obere Dreiecksmatrix und die Determinante aufgeschrieben.
Folgenden Zusammenhang konnte ich feststellen:

Die Anzahl an benötigten elementaren Zeilenumformungen beträgt für n=n:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n-1} i \end{eqnarray*}$

Da die Determinante sich aus dem Produkt der Diagonaleinträge der oberen Dreicksmatrix ergibt, kann ich det(A_n) wie folgt beschreiben:
$\begin{eqnarray*} det(A_n)=3*(3-\frac{1}{3} )*(3-\frac{1}{3} -\frac{1}{6} )*(3-\frac{1}{3} -\frac{1}{6}-\frac{1}{10} )*...*(3-\frac{1}{3} -\frac{1}{6}-\frac{1}{10}-...-\frac{1}{\sum\limits_{i=1}^{n} i } ) \end{eqnarray*}$
Hierbei sind die Nenner der Brüche die Anzahlen der benötigten elementaren Zeilenumformungen (kurz: EZU), sprich: 3 EZU um eine 3x3 Matrix auf obere Dreiecksform (kurz: ODF) zu bringen, 6 EZU um eine 4x4 Matrix auf ODF zu bringen, 10 EZU um eine 5x5 Matrix auf ODF zu bringen, ...

Ist das alles soweit korrekt? Ich entschuldige mich, für meine unpräzisen Formulierungen, aber genau hier liegt eines der 2 Probleme:

1.:
Ich weiß nicht, wie ich verständlich mathematisch meinen Gedankengang aufschreiben kann und ich weiß nicht, wie ich det(A_n) genauer beschreiben kann, man kann die Formel doch bestimmt viel schöner darstellen?
2.:
Ich bin mir unsicher, ob das reicht was ich gemacht habe. Selbst wenn es mir mit eurer Hilfe gelingt, die Formel so zusammenzufassen, dass sie "schöner" ist, war die Aufgabe ja genau genommen die Determinaten zu "berechnen". Das habe ich ja nicht getan und ich wüsste auch nicht, wie ich das anders machen könnte.

Für Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Liebe Grüße

12.01.2013, 22:31

Leopold

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Dein Ergebnis stimmt. Nur kann man dafür auch $\begin{eqnarray*} 2^{n-1} \cdot (n+2) \end{eqnarray*}$ schreiben. Ich habe es so gemacht: Zweite Zeile von der ersten subtrahiert, dritte Zeile von der zweiten Zeile subtrahiert usw. bis schließlich die letzte Zeile von der vorletzten subtrahiert. Nur die letzte Zeile bleibt. Effekt ist, daß man, abgesehen von der letzten Zeile, in der Hauptdiagonalen eine $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ , in der ersten Nebendiagonalen eine $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ und sonst nur noch Nullen hat. Zieht man aus jeder dieser Zeilen eine $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ heraus, bekommt man den Faktor $\begin{eqnarray*} 2^{n-1} \end{eqnarray*}$ vor der Determinante. Und wie es weitergeht, kannst du dir selbst überlegen.

EDIT

Wenn du bei deinem Lösungsansatz bleiben willst, kannst du auch

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \ldots + \frac{2}{k(k+1)} = 2 \cdot \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + 2 \cdot \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + 2 \cdot \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \ldots + 2 \cdot \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = 2 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$

verwenden. Nach Ausmultiplizieren hebt jedes Plusglied das vorausgehende Minusglied auf.

13.01.2013, 16:11

donpain

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Hallo Leopold und Danke für deine Hilfe!

Zitat:

Und wie es weitergeht, kannst du dir selbst überlegen.

Man subtrahiert von der n-ten Zeile 1x die 1., dann 2x die 2., 3x die 3., (n-1)x die (n-1)-te. Und dann bleibt in der letzten Zeile nur der Eintrag $\begin{eqnarray*} a_{nn} =(n+2) \end{eqnarray*}$ stehen.
Die Determinante ergibt sich dann aus dem Produkt der Hauptdiagonalen, welche bis auf das (n+2) jedoch nur Einsen enthält.
Alles korrekt?

Ich habe deinen Ansatz übernommen, da ich ihn wesentlich eleganter und praktischer finde.

Aus Interesse möchte ich jedoch noch auf deinen Vorschlag eingehen:
Ich verstehe den Ansatz und deine Umformungen. Das ist ja eine Art Teleskopsumme. Jedoch ist mir unklar, wie ich das in meine Formel für det(A_n) integrieren könnte.
Ich habe ja nicht immer die "volle Kette", so dass ich einfach einsetzen könnte?

Liebe Grüße

13.01.2013, 17:05

Leopold

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Nun, wenn du das weiter umformst, bekommst du

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{k+1} = \frac{k-1}{k+1} \end{eqnarray*}$

Und das Ganze von $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ subtrahiert:

$\begin{eqnarray*} 3 - \frac{k-1}{k+1} = 2 \cdot \frac{k+2}{k+1} \end{eqnarray*}$

Und das ist der Wert deiner $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -ten Klammer (wobei ich deinen Startfaktor $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ als erste Klammer bezeichne). Die Faktoren $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ reichern sich zur Potenz $\begin{eqnarray*} 2^{n-1} \end{eqnarray*}$ an. Und dann verbleibt noch ein Teleskop-Produkt.

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