Eine nicht leere Menge-Abbildung-nicht injektiv/surjektiv?

13.01.2013, 00:48

ErlebnisZahl

Eine nicht leere Menge-Abbildung-nicht injektiv/surjektiv?

Hey Mathefreunde!

Ich habe eine Aufgabe vor mir, bei der ich nicht weiß wie ich vorgehen soll. Es geht um eine nicht leere Menge M->M abbildung.
Ich soll zeigen das pi nicht injektiv und nicht surjektiv ist.

Pi sieht aus wie eine gerade auf y= 3,14

Injektivität sagt aus f(x)=f(x2) -> x=x2
Die Voraussetzung kann nicht sein, da ich verschiedene X-Werte mit dem gleichen Y-Wert habe.

Surjektivität sagt aus das für alle y Werte mindestens ein x existiert.
f(x)=y
Surjektivität stimmt.

Ich weiß nicht ob ich richtig vorgehe, aber ich denke die Verkettung verändert alles, da die Voraussetzung für Surjektivität stimmt und ich zeigen soll,dass es nicht surjektiv ist.

Ich bitte um Rat und Vorschläge.

13.01.2013, 01:23

RavenOnJ

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RE: Eine nicht leere Menge-Abbildung-nicht injektiv/surjektiv?

Zitat:

Original von ErlebnisZahl
Pi sieht aus wie eine gerade auf y= 3,14

was soll denn das? Es handelt sich hier um eine Abbildung mit Namen $\begin{align*} \pi \end{align*}$ und nicht um die Zahl $\begin{align*} \pi \simeq 3.14159 \end{align*}$ .

Zitat:

Injektivität sagt aus f(x)=f(x2) -> x=x2
Die Voraussetzung kann nicht sein, da ich verschiedene X-Werte mit dem gleichen Y-Wert habe.

warum? ich sehe keine Begründung.

Zitat:

Surjektivität sagt aus das für alle y Werte mindestens ein x existiert.
f(x)=y
Surjektivität stimmt.

Ich weiß nicht ob ich richtig vorgehe, aber ich denke die Verkettung verändert alles, da die Voraussetzung für Surjektivität stimmt und ich zeigen soll,dass es nicht surjektiv ist.

Du drückst dich ziemlich unklar aus. Welche Voraussetzung für Surjektivität stimmt?

13.01.2013, 08:40

ErlebnisZahl

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RE: Eine nicht leere Menge-Abbildung-nicht injektiv/surjektiv?
@RavenOnJ
Ich kann aus der Aufgabe nicht entnehmen wie ich es beweisen soll, da ich die Aufgabe nicht richtig verstehe.

Surjektivität sagt aus, das die Zielmenge Y von mindestens einem X Wert getroffen wird.

13.01.2013, 08:52

Monoid

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RE: Eine nicht leere Menge-Abbildung-nicht injektiv/surjektiv?
Eigentlich nicht...
Die Surjektivität sagt folgendes aus:
$\begin{eqnarray*} \forall y \in Y: \exists x \in X: f(x)=y \end{eqnarray*}$

Also, dass JEDES Element von y von mindestens einem x-Wert getroffen wird.

Werde bitte ein bisschen konkreter, was verstehst du nicht?

13.01.2013, 09:11

ErlebnisZahl

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RE: Eine nicht leere Menge-Abbildung-nicht injektiv/surjektiv?
Es geht um eine Komposition in der Aufgabe. Bei Funktionen oder ähnliches welches ich mir vorstellen kann ich ganz schnell beweisen die Eigenschaften beweisen.

In dem Fall ist das leider nicht so und ich vermute einfach. Könntest du mir denn vielleicht beschreiben wie ich meine Lösung ansetzen muss?

Beste Grüße!

13.01.2013, 10:38

shipwater

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$\begin{eqnarray*} \pi \neq id_M \end{eqnarray*}$ bedeutet $\begin{eqnarray*} \exists x_0 \in M: ~ \pi(x_0) \neq x_0 \end{eqnarray*}$

Naja und jetzt verwende noch die zweite Voraussetzung, also $\begin{eqnarray*} \pi \circ \pi=\pi \end{eqnarray*}$ , um die Nichtinjektivität zu zeigen.

Gruß Shipwater

13.01.2013, 21:02

ErlebnisZahl

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Ich habe den ganzen Tag was ausprobiert aber zu was gescheites komme ich nicht. Magst du noch mehr helfen?

13.01.2013, 21:11

shipwater

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Berechne $\begin{eqnarray*} \pi\left(\pi(x_0)\right) \end{eqnarray*}$ . Was kommt da denn raus? Verwende hierzu die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} \pi \circ \pi =\pi \end{eqnarray*}$

Gruß Shipwater

13.01.2013, 22:14

ErlebnisZahl

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Laut der Voraussetzung ist die Verkettung von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ immer noch $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ .
Also muss $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ (x0)) = $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ (x0) sein?

13.01.2013, 22:17

shipwater

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Richtig es gibt also $\begin{eqnarray*} x_0 \in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \pi(x_0) \neq x_0 \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} \pi(\pi(x_0))\ = \pi(x_0) \end{eqnarray*}$

Gruß Shipwater

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