Lineare Abbildungen - Aufgabe

13.01.2013, 17:13

Pumi00

Lineare Abbildungen - Aufgabe

Meine Frage:
Hallo liebe Leute!

Ich habe eine eigentlich simpel aussehende Übungsaufgabe (teil einer Hausaufgabe) von meiner Uni.
Es geht um lineare Abbildungen und jetzt erst Mal um die "Basics".

Die Aufgabe lautet:

$\begin{eqnarray*} f \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x \\ 3y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a) Beschreiben Sie in Worten die geometrische Bedeutung obiger Abbildungen. Geben Sie das Bild des Einheitskreises unter der jeweiligen Abbildung an.
b) Prüfen Sie jeweils, ob die Abbildung linear oder nicht linear ist und geben Sie für lineare
Abbildungen jeweils Bild und Kern an.
c) Prüfen Sie jeweils, ob die Abbildung injektiv, surjektiv und/oder bijektiv ist und geben
Sie, wenn möglich, die Umkehrabbildung an.

Es sind mehrere Unteraufgaben, aber wenn ich es für eins lösen kann, dann müsste es eigentlich klappen...

Meine Ideen:
Primär habe ich ein Verständnisproblem, ich versuche mal zu beschreiben, wie ich überhaupt eine lineare Abbildung verstehe (wiki und Co. verwirren mich zumeist noch mehr!).
Es läuft wie bei einer Funktion ab, in dem Fall haben wir einen x und y Wert (im 2-Dimensionalen), was dem Bild entspricht, und diese Werte werden mit 2x bzw 3y abgebildet.
Geht es denn bei einem 2-Dimensionalen Vektor um den Punkt (also zB (1|1)) oder um den Ortsvektor vom Ursprung?

zu a) das müsste bei einem Ortsvektor eine schräge Streckung sein, und zwar in x-Richtung um das 2- und in y-Richtung um das 3-fache.
wie man das Bild des Einheitskreises unter der Abbildung angibt, davon habe ich keinen blassen Schimmer...das Bild ist ja die "Ursprungsmenge", aber Bild des Einheitskreises unter der Abbildung?
Könnt ihr mir hier helfen?

b) hier geht es um die Nachweise:
$\begin{eqnarray*} f \begin{pmatrix} x1 + x2 \\ y1 + y2 \end{pmatrix} = f \begin{pmatrix} x1 \\ y1 \end{pmatrix} + f \begin{pmatrix} x2 \\ y2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
(bzw umgekehrt) und:
$\begin{eqnarray*} {f(\alpha x) = \alpha f(x)} \end{eqnarray*}$

1.) $\begin{eqnarray*} f \begin{pmatrix} 2x1 \\ 2y2 \end{pmatrix} + f \begin{pmatrix} 2x2\\ 2y2 \end{pmatrix} = f \begin{pmatrix} 2x1 + 2x2 \\ 2y1 + 2y2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Reicht das für die Addition?
und wie mache ich das nun für die Homogenität?!
mein Problem sind die 2 unterschiedlichen Faktoren in der Klammer, also einmal für x -> 2 und für y -> 3, also kann das ja nicht sein:
$\begin{eqnarray*} f \begin{pmatrix} \alpha x \\ \alpha y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Muss ich für y $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ wählen?
und dann? Ich weiß nicht, was ich damit anfangen kann.

Bild + Kern:
Bild = "Ursprungsmenge"?
Kern = Alle Bilder, die auf den Nullvektor abbilden?

Ist das Bild dann jede rationale Zahl?
Und der Kern f(0|0) ? Ist meines Erachtens die einzige Möglichkeit, um auf den Nullvektor abzubilden.

c)
Nur um sicher zu gehen:

Injektivität = Jeder "Zielwert" der Abbildung wird maximal 1 Mal getroffen
Surjektivität = Jeder "Zielwert" wird mindestens 1 Mal getroffen

Das kann ich mir bei Vektoren jetzt schlecht vorstellen?
Aber injektiv ja = wird durch die "Streckung" gewährleistet?!
Surjektiv?!

Umkehrfunktion (falls sie denn bijektiv ist, was ich iwie glaube..):
Einfach gesagt, wie ich die Abbildung rückwärts gehen kann?

$\begin{eqnarray*} f^-1 \begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} = f \begin{pmatrix} \frac{1}{2} x \\ \frac{1}{3} y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

?

Entschuldigung, dass das gleich mal so viel ist, falls es also zu viel Text ist und eventuell zu ungenau, raus damit, dann versuch ich es nächstes Mal kürzer zu gestalten!

Mit freundlichen Grüßen
Pumi

13.01.2013, 17:15

Pumi00

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RE: Lineare Abbildungen - Aufgabe
Tschuldigung, aber wie bekomme ich das mit den Formeln hin?!

Edit von Mulder: Die Formeln in latex-Tags setzen:

code:
1:	[latex] hier deine Formeln rein [/latex]

Habe ich im ersten Post mal überarbeitet

13.01.2013, 17:22

Pumi00

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Danke, habs direkt nach dem antworten gesehen smile

14.01.2013, 09:43

klarsoweit

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RE: Lineare Abbildungen - Aufgabe

Zitat:

Original von Pumi00
Geht es denn bei einem 2-Dimensionalen Vektor um den Punkt (also zB (1|1)) oder um den Ortsvektor vom Ursprung?

Im Prinzip um den Ortsvektor vom Ursprung.

Zitat:

Original von Pumi00
1.) $\begin{eqnarray*} f \begin{pmatrix} 2x1 \\ 2y2 \end{pmatrix} + f \begin{pmatrix} 2x2\\ 2y2 \end{pmatrix} = f \begin{pmatrix} 2x1 + 2x2 \\ 2y1 + 2y2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Reicht das für die Addition?

Was soll denn der Faktor 2 vor den Komponenten? verwirrt

Also jetzt mal ganz langsam. Zu zeigen ist, daß $\begin{eqnarray*} f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} + f \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} = f \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gilt.

Nun schreibe mal hin, welche Vektoren da jeweils aufgrund der Abbildungsvorschrift rauskommen. Dann prüfe, ob die Gleichung erfüllt wird.

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