Untergruppen

13.01.2013, 18:58

Tesserakt

Untergruppen

Guten Abend.
Es gilt, folgende Aufgabe zu lösen:

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} (G,*) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe mit den Untergruppen $\begin{eqnarray*} (H_1,*) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (H_2,*) \end{eqnarray*}$ . Man zeige, dass $\begin{eqnarray*} (H_1 \cup H_2,*) \end{eqnarray*}$ genau dann Untergruppe von $\begin{eqnarray*} (G,*) \end{eqnarray*}$ ist, wenn $\begin{eqnarray*} H_1 \subset H_2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} H_2 \subset H_1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Beweis, dass $\begin{eqnarray*} H_1 \subset H_2 \vee H_2 \subset H_1 \Rightarrow (H_1 \cup H_2,*) \; \text{ist Untergruppe von} \; (G,*) \end{eqnarray*}$ gilt:

Sei $\begin{eqnarray*} H_1 \subset H_2 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} H_1 \cup H_2 = H_2 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} (H_1 \cup H_2,*) = (H_2,*) \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung Untergruppe von $\begin{eqnarray*} (G,*) \end{eqnarray*}$ ist.
Analog verfährt man für den Fall $\begin{eqnarray*} H_2 \subset H_1 \end{eqnarray*}$

Beweis, dass die Umkehrung $\begin{eqnarray*} H_1 \subset H_2 \vee H_2 \subset H_1 \Leftarrow (H_1 \cup H_2,*) \; \text{ist Untergruppe von} \; (G,*) \end{eqnarray*}$ gilt:

Sei $\begin{eqnarray*} (H_1 \cup H_2,*) \end{eqnarray*}$ Untergruppe von $\begin{eqnarray*} (G,*) \end{eqnarray*}$ .
Angenommen, es gilt $\begin{eqnarray*} H_1 \not\subset H_2 \wedge H_2 \not\subset H_1 \end{eqnarray*}$ .
Dann existieren $\begin{eqnarray*} h_1 \in H_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h_2 \in H_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} h_1 \not\in H_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h_2 \not\in H_1 \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} g = h_1 * h_2 \in H_1 \cup H_2 \end{eqnarray*}$ . Ergo $\begin{eqnarray*} g \in H_1 \vee g \in H_2 \end{eqnarray*}$ .
Angenommen, $\begin{eqnarray*} g \in H_2 \end{eqnarray*}$ . Dann folgt mit $\begin{eqnarray*} h_1 = g * {h_2}^{-1} \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} h_1 \in H_2 \end{eqnarray*}$ gilt, was einen Widerspruch darstellt.
Angenommen, $\begin{eqnarray*} g \in H_1 \end{eqnarray*}$ . Analog folgt aus $\begin{eqnarray*} h_2 = {h_1}^{-1} * g \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} h_2 \in H_1 \end{eqnarray*}$ ist, was ebenfalls einen Widerspruch darstellt.

Somit ist die Annahme, dass $\begin{eqnarray*} H_1 \not\subset H_2 \wedge H_2 \not\subset H_1 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist, falsch und die ursprüngliche Behauptung gilt.

Aus beiden Teilbeweisen folgt $\begin{eqnarray*} H_1 \subset H_2 \vee H_2 \subset H_1 \Leftrightarrow (H_1 \cup H_2,*) \; \text{ist Untergruppe von} \; (G,*) \end{eqnarray*}$ . - was zu beweisen war.

______

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob meine Argumentation beim zweiten Teilbeweis lückenlos ist. verwirrt

13.01.2013, 19:10

Mulder

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RE: Untergruppen
Das sieht doch gut aus. smile

Zitat:

Original von Tesserakt
Angenommen, $\begin{eqnarray*} g \in H_2 \end{eqnarray*}$ . Dann folgt mit $\begin{eqnarray*} h_1 = g * {h_2}^{-1} \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} h_1 \in H_2 \end{eqnarray*}$ gilt, was einen Widerspruch darstellt.

Angenommen, $\begin{eqnarray*} g \in H_1 \end{eqnarray*}$ . Analog folgt aus $\begin{eqnarray*} h_2 = {h_1}^{-1} * g \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} h_2 \in H_1 \end{eqnarray*}$ ist, was ebenfalls einen Widerspruch darstellt.

Hier ist es vielleicht etwas knapp formuliert, je nachdem, wie genau dein Tutor es nun nehmen wird. Dein Beweis ist aber genau richtig.

13.01.2013, 19:17

Tesserakt

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RE: Untergruppen

Zitat:

Hier ist es vielleicht etwas knapp formuliert, je nachdem, wie genau dein Tutor es nun nehmen wird. Dein Beweis ist aber genau richtig.

Nunja, ich habe die Aufgabe nur so zum Spaß an der Freude bearbeitet, da ich mir die Grundlagen der Algebra im Selbststudium neben der Schule beibringe.
Aber um die Lücke zu schließen: Es folgt aus der Abgeschlossenheit von Gruppen.

Nun denn, vielen Dank. smile

13.01.2013, 19:46

wubi

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RE: Untergruppen
Vergleiche auch mit
matheboard.de/archive/395511/thread.html
an.

Das ist ein sehr interessanter Satz, der dir viel Information über den Aufbau so einer Gruppe gibt.
Sieh dir dazu mal
en.wikipedia.org/wiki/Subgroup#Example:_Subgroups_of_Z8
an. Gegeben ist dort die Gruppentafel von G={0,...,8} mit (a+b) mod 8
und die Untergruppen sind farblich markiert.

Das sagt uns ja, dass nur
$\begin{eqnarray*} U_1 \le U_2 \le ... \le G \end{eqnarray*}$
und nichts anderes möglich ist.
Das heißt, wenn es echte Untergruppen gibt, können
wir diese doch mit
$\begin{eqnarray*} U_1 < U_2 < ... < G \end{eqnarray*}$
anordnen.
Zu zeigen ist halt noch, dass
$\begin{eqnarray*} U_1 < G \wedge U_2 < G \wedge U_1\subset U_2 \wedge U_1\ne U_2 \Rightarrow U_1 < U_2. \end{eqnarray*}$

13.01.2013, 20:08

wubi

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RE: Untergruppen
Neh das war Quatsch.
Es gibt ja auch Untergruppen mit U1 keine Teilmenge von U2, wo die Vereinigung keine Untergruppe mehr ist.

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