Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge

14.01.2013, 14:43

medphys

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Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge

Hallo, wir haben das Thema gerade erst angefangen und ich weiß einfach nicht wie ich mit der Aufgabe anfangen soll, Undzwar:
Es sei o<a<1 und $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ =1 , $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ := $\begin{eqnarray*} \frac{a+a_{n}}{1+a_{n}} \end{eqnarray*}$
Untersuchen Sie die rekursiv definierte Folge ( $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ ) auf Konvergenz oder Divergenz und bestimmen Sie ggf. Ihren Grenzwert!
Wäre dankbar für jeden Ansatz!

Medphys

14.01.2013, 14:48

Che Netzer

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RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge
In solchen Fällen zeigt man meist Monotonie und Beschränktheit der Folge (mache dir ggf. klar, was das bringt).
Da ist Induktion oft hilfreich.
Zur Berechnung des Grenzwertes: Ist $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ der Grenzwert, dann ist $\begin{eqnarray*} c=\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\dotso \end{eqnarray*}$ .

14.01.2013, 15:16

medphys

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RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge
Danke für die schnelle Antwort.
Ich habe schonmal probiert einen Induktionsanfang zu starten aber bei dem Schritt bin ich mir nicht ganz sicher
Also:
Induktionsanfang für n =1 :
$\begin{eqnarray*} a_2=\frac{a+a_{1}}{1+a_{1}} =\frac{a+1}{2} < a_{1} \end{eqnarray*}$
Das lässt schonmal vermuten, dass die Folge monoton fallend ist.
Muss ich dann bei dem Induktionsschrit zeigen, dass folgendes gilt:
$\begin{eqnarray*} a_{n+2}=\frac {a+a_{n+1}} {1+a_{n+1}} \end{eqnarray*}$ ?
wenn das alles so wäre ist dann meine Induktionsvorraussetzung:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac {a+a_{n}}{1+a_{n}} \end{eqnarray*}$ und die kann ich dann da einsetzen oder hab ich da was falsch gemacht?

Medphys

14.01.2013, 15:23

Che Netzer

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RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge
Deine Induktionsvoraussetzung ist $\begin{eqnarray*} a_{n+1}\leq a_n \end{eqnarray*}$ .
Der Anfang stimmt, ich hätte rechts aber $\begin{eqnarray*} <1=a_1 \end{eqnarray*}$ geschrieben.

14.01.2013, 15:35

medphys

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RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge
Okay, also muss ich im Induktionsschritt zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} a_{n+2}\leq a_{n+1} \end{eqnarray*}$ richtig?
Und wenn ich dann gezeigt hab dass die Folge monoton fallend ist muss ich noch zeigen, dass die Folge beschränkt ist und dann weiß ich, dass sie konvergiert oder?

14.01.2013, 15:37

Che Netzer

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RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge
Genau.

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14.01.2013, 16:20

medphys

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RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge
Ich habe jetzt probiert $\begin{eqnarray*} a_{n+2} \end{eqnarray*}$ soweit umzuformen, dass ich erkennen kann, dass $\begin{eqnarray*} a_{n+2}<a_{n+1} \end{eqnarray*}$ ist, aber ich sehe es nicht. Oder muss ich im Schritt andere Umformungen machen?
Ich habe nämlich folgendes für $\begin{eqnarray*} a_{n+2} \end{eqnarray*}$ raus:
$\begin{eqnarray*} a_{n+2}=\frac {a+a_{n+1}}{1+a_{n+1}}=\frac{2a+a_{n}(a+1)}{2a_{n}+a+1} \end{eqnarray*}$ ist das soweit richtig?

14.01.2013, 17:16

HAL 9000

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Nicht so richtig zu erkennen, wohin das führen soll. verwirrt

verwirrt

Wenn man nutzt, dass die Kehrwertfunktion $\begin{eqnarray*} t\mapsto \frac{1}{t} \end{eqnarray*}$ für positive Argumente streng monoton fallend ist, dann kann man aus $\begin{eqnarray*} a_{n+1}<a_n \end{eqnarray*}$ folgern

$\begin{eqnarray*} a_{n+2} = \frac{a+a_{n+1}}{1+a_{n+1}} = 1-\frac{1-a}{1+a_{n+1}} < 1-\frac{1-a}{1+a_n} = \frac{a+a_n}{1+a_n} = a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Dieses Prinzip lässt sich übrigens zu einem für viele derartig rekursiv definierte Folgen anwendbaren Rezept verallgemeinern:

Zitat:

Hat man eine (streng) monoton wachsende Funktion $\begin{eqnarray*} T:\;D\to D \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} D\subseteq \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ vorliegen, und definiert damit eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n=1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ durch Startwert $\begin{eqnarray*} a_1\in D \end{eqnarray*}$ und Iteration $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=T(a_n) \end{eqnarray*}$ , dann gilt

a) Ist $\begin{eqnarray*} a_1<a_2 \end{eqnarray*}$ , so ist die gesamte Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n=1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ (streng) monoton wachsend.

b) Ist $\begin{eqnarray*} a_1>a_2 \end{eqnarray*}$ , so ist die gesamte Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n=1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ (streng) monoton fallend.

Im vorliegenden Fall ist diese streng monoton wachsende Funktion $\begin{eqnarray*} T(x) = \frac{a+x}{1+x} = 1-\frac{1-a}{1+x} \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} D=[0,\infty) \end{eqnarray*}$ .

14.01.2013, 17:33

medphys

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RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge
Ich habe doch für den Induktionsschritt eine andere Idee:
Meine Induktionsvorraussetzung ist ja
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}\leq a_{n} \end{eqnarray*}$ und ich muss zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} a_{n+2}\leq a_{n+1} \end{eqnarray*}$ ist.
Kann ich dann nicht einfach schreiben:
$\begin{eqnarray*} a_{n+2}=\frac {a+a_{n+1}}{1+a_{n+1}}\leq \frac{a+a_n}{1+a_n}=a_{n+1} \end{eqnarray*}$ ist und bin fertig? Wobei ich bei dem Ungleichheitszeichen meine Induktionsvorraussetzung eingesetzt habe.

14.01.2013, 18:01

Che Netzer

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RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge
So einfach geht das nicht. Du machst in deiner letzten Ungleichung sowohl den Zähler als auch den Nenner größer. Dann kannst du noch nicht direkt wissen, ob der gesamte Bruch auch größer wird.

14.01.2013, 18:12

medphys

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RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge
Also,
ich habe jetzt den Weg von HAL 9000 nachvollzogen und somit ist die Folge monoton fallend.
Jetzt muss ich noch zeigen, dass sie beschränkt ist und dabei habe ich auch Probleme. Hilfe

Hilfe

Ich weiß, dass das größte Folgenglied $\begin{eqnarray*} a_1=1 \end{eqnarray*}$ ist, weil die Folge monoton fallend ist. Untere Schranken gibt es eigentlich viele oder? Kann ich mir jetzt irgendeinen Wert aussuchen und überprüfen ob kein Folgenglied mehr kleiner ist? Oder gibt es vielleicht einen sinnvollen Wert, den man direkt ablesen kann? Wenn aber kein Folgenglied unter der von mir gewählten Schranke sich befindet, dann habe ich doch insgesamt gezeigt, dass die Folge konvergiert. Ist da so richtig?

14.01.2013, 18:17

Che Netzer

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RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge
Der Gedankengang stimmt.
Eine untere Schranke solltest du aber durchaus finden können.
Ja, es gibt unendlich viele, eine sticht aber hervor.

14.01.2013, 18:34

medphys

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RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge
Wenn ich als untere Schranke die 0 wähle dann kann ich eine Ungleichung aufstellen mit:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}>0 \end{eqnarray*}$
Wenn ich in die Ungleichung für $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ die Bildungsvorschrift einsetze und umforme komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} a_n>-a \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

14.01.2013, 18:40

Che Netzer

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RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge
Die Null als untere Schranke klingt schonmal gut.
Dem Rest deiner Ausführungen kann ich nicht folgen.
Führe doch eine "Mini-Induktion" dazu durch.

14.01.2013, 18:50

medphys

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RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge
Ich habe:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a_n+a}{a_n+1}>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n+a>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n>-a \end{eqnarray*}$
Verstehe leider nicht was du mit Miniinduktion weiß, oder wie ich das sonst noch lösen kann Hammer

Hammer

14.01.2013, 18:57

medphys

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RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge
Achso ich glaube ich habe es verstanden:
Der Induktionsanfang:
$\begin{eqnarray*} a_1=1>0, a_2=\frac{a_1+a}{a_1+1}=\frac{a+1}{2}>0 \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt:
$\begin{eqnarray*} a_{n+2}=\frac{a_{n+1}+a}{a_{n+1}+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ ist nach Vorraussetzung >0 und da 0<a<1 ist, ist auch
$\begin{eqnarray*} a_{n+2}>0 \end{eqnarray*}$
Meinst du das so?

14.01.2013, 19:50

Che Netzer

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RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge
Das sieht schon besser aus.
Aber $\begin{eqnarray*} a_2>0 \end{eqnarray*}$ musst du nicht explizit zeigen.

14.01.2013, 21:51

medphys

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RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge
Ich habe leider auch noch Probleme bei der Bestimmung des Grenzwertes, da ich das noch nie bei einer Folge gemacht habe, bei der nur der Laufindex gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ läuft.
Könnte mir vielleicht noch einer einen kleinen Denkanstoß geben?
Die Information aus der ersten Antwort:
$\begin{eqnarray*} c=\lim_{n \to \infty} a_n=\lim_{n \to \infty} a_{n+1}=... \end{eqnarray*}$
kann leider nur nicht viel mit anfangen verwirrt

verwirrt

14.01.2013, 22:13

Che Netzer

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RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge
Dann schreibe $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ um, vielleicht siehst du es dann.

14.01.2013, 22:25

medphys

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Okay ich versuchs mal:
$\begin{eqnarray*} c=\lim_{n \to \infty} \frac{a+a_n}{1+a_n}=\frac{a+c}{1+c} \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} c=\pm \sqrt{a} \end{eqnarray*}$

da ich aber gezeigt habe, dass 0 eine untere Schranke ist, ist $\begin{eqnarray*} c=\sqrt{a} \end{eqnarray*}$
richtig?

14.01.2013, 22:28

Che Netzer

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Jetzt passt es endlich.

14.01.2013, 22:35

medphys

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Ja aber wirklich endlich Big Laugh

Big Laugh

Danke für die Hilfe!

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