Lineare Abbildung, Ableitungen Sinus/Kosinusfkt.

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MathePaul123 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung, Ableitungen Sinus/Kosinusfkt.
Meine Frage:
Es bezeichne sin (bzw. cos) die trigonometrische Funktionen sin: , (bzw. , ). Sei V := <sin, cos> c Abb(), der von sin und cos aufgespannte -Untervektorraum aller reellwertiger Funktionen auf

(a) Sei D die Abbildung D(f) = f', wobei f' die Ableitung von f bezeichne. Zeigen Sie, dass D sich zu einer linearen Abbildung V beschränkt und bestimmen Sie die Darstellungsmatrix .

Meine Ideen:
Das Problem ist, woher kommt das f? Ist f?V, dann müsste ich die Linearität für jeweils sin und cos zeigen. Aber nirgends ist f definiert. Oder seh ich das irgendwie falsch. Mich bringt die Aufgabe irgendwie zum verzweifeln. Muss ich auch "nur" die Linearität zeigen oder was heißt das beschränkt?
Über einen kleinen Ansatz würde ich mich sehr freuen :-)

Viele Grüße
Paul :-)
MathePaul Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung, Ableitungen Sinus/Kosinusfkt.
Achja B := (sin, cos)

dass dies eine Basis ist, musste ich in der vorigen Teilaufgabe zeigen.
 
 
MathePaul Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung, Ableitungen Sinus/Kosinusfkt.
Die Darstellungsmatrix hab ich mittlerweile rausgefunden, und zwar

B = (sin,cos)

D(sin) = cos = 0 * sin + 1 * cos
D(cos) = -sin = -1 * sin + 0 * cos

=>
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung, Ableitungen Sinus/Kosinusfkt.
Zitat:
Original von MathePaul123
Sei V := <sin, cos> c Abb(), der von sin und cos aufgespannte -Untervektorraum aller reellwertiger Funktionen auf


Das soll wohl heißen "der von sin und cos aufgespannte -Untervektorraum des Raums aller reellwertiger Funktionen auf ", denn es gibt unendlich viele reellwertige Funktionen, die nicht als Linearkombination von sin und cos darstellbar sind.

Zitat:

Zeigen Sie, dass D sich zu einer linearen Abbildung V beschränkt ...


Das ist ziemlich unklar ausgedrückt. Soll das heißen, dass die Abbildung beschränkt ist und man das zeigen soll?
MathePaul Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung, Ableitungen Sinus/Kosinusfkt.
Es soll "natürlich" heißen V -> V. Wurde ein wenig zu schnell getippt smile
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst also zeigen, dass die Abbildung beschränkt ist (denn das ist sie)?
MathePaul Auf diesen Beitrag antworten »

ich schätze, ich muss höchstwahrscheinlich auch noch die Linearität zeigen & die Beschränktheit, soweit ich die Aufgabe verstanden habe oder?
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