Population der Mathematikstudenten

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alcardaalanda Auf diesen Beitrag antworten »
Population der Mathematikstudenten
Hallo zusammen.

Wir haben neulich mit dem Thema Differentialgleichungen begonnen und ich habe doch so meine Probleme, mich in dieses Thema einzufinden. Ich hänge im Moment an folgender Teilaufgabe (erstmal frage ich nur nach dem ersten Teil):

Es soll die Population der Mathematikstudenten untersucht werden.
Mit werde die Anzahl der Studenten zum Zeitpunkt bezeichnet. Jedes Jahr bricht ein Anteil der Studenten ihr Studium ab, weil sie durch die Analysis-Klausur fallen.
Da die Betreuung der Studenten mit zunehmender Anzahl an Studenten schlechter wird, gibt es jedes Jahr einen zweiten Anteil an Abbrechern, der proportional zur Anzahl ist. Ausserdem gibt es jährlich eine feste Absolventenrate und der Fachbereich erhält einen Zuwachs (in %) durch Abiturienten.

Nun soll ich im ersten Teil eine Differentialgleichung für die zeitliche Entwicklung der Anzahl der Mathematikstudenten aufstellen. Leider habe ich auch damit schon meine Probleme.

Ich habe zuerst gedacht, dass man das Ganze durch eine DGL der Form beschreiben kann. Aber irgendwie haben sich die Blockaden noch nicht gelöst.
Ich habe überhaupt keinen Ansatz, wie die DGL letztendlich aussieht. Da porportional zu ist, wäre sicherlich Teil meiner Funktion . Da in der nächsten Teilaufgabe alle Raten in % angegeben sind, liest sich das aber für mich so, dass alle diese Größen proportional zur Studentenzahl sind. Was habe ich dann unter einem festen Anteil zu verstehen? Für mich liest sich fester Anteil so, dass jedes Jahr die gleiche Anzahl an Studenten ein Studium abschließt. Deswegen hätte ich spontan einfach auf getippt. Das wäre aber zu einfach und würde außerdem in der nächsten Teilaufgabe zu Problemen führen.

Tut mir Leid, dass meine Ideen so mager sind, aber ich habe wirklich ein riesiges Brett vor dem Kopf. Für einen kleinen Tipp, damit ich wenigstens die Informationen richtig interpretiere, wäre ich sehr dankbar. smile

Edit: Ich glaube, dass die "Reihenfolge" der Raten eine Rolle spielt. Sprich: Erst brechen die Leute wegen schlechter Betreuung das Studium ab, von den übrigen fällt ein bestimmter Anteil durch, von den übrigen beendet ein Teil das Studium.
Aber auf welche Studentenzahl bezieht sich die Zuwachsrate? Machen diese Überlegungen denn Sinn?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde die Differenzialgleichung genau so aufstellen wie du, also



Diese Gleichung besagt, dass alle 4 Arten der Änderung der Studentenzahl proportional zur momentanen Studentenzahl y sind. Es steht nirgends, dass der Koeffizient r proportional zur Studentenzahl y ist, sondern r ist fest!

Du fragst, was man unter dem "festen Anteil" a zu verstehen soll?" In der Tat ist diese Formulierung nicht eindeutig. Es wäre aber aus praktischer Sicht wenig sinnvoll, wenn man die Anzahl derjenigen Studenten, welche das Studium infolge der schwierigen Klausur abbricht, als fest annimmt (z.B. a=76). Aus meiner Sicht macht es nur einen Sinn, wenn die Zahl der Abbrecher dem Produkt ay entspricht und somit proportional zur Studentenzahl y ist.

Die Lösung der obigen Dgl. ist eine Exponentialfunktion



Dabei ist yo die Zahl der Studenten zu Beginn t=0. Die Uni wird versuchen, die Studentenzahl konstant zu halten. Das Ziel der Uni ist also die Identität a+r+d=n.

---------
Die Bedeutung der Symbole habe ich hier nochmal aufgeführt:

=absolute Anzahl der Studenten zur Zeit t
=Gesamtänderung der Studentenzahl pro Zeit
=Koeffizient, der ein Maß für die Schwierigkeit der Klausur ist
=Koeffizient, der ein Maß für die Vernachlässigung der Studenten infolge schlechter Betreuung ist
=Koeffizient, der ein Maß für den Anteil erfolgreicher Absolventen ist
=Koeffizient, der ein Maß für die Attraktivität des Studiums für Neueinsteiger ist
Chrilo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich arbeite gerade an der gleichen Aufgabe und hab auch diese Lösung raus. Allerdings frage ich mich, was es mit dem "y" bei ry auf sich hat? Muss das nicht mehr in der Differentialgleichung berücksichtigt werden?
alcardaalanda Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die auführliche Antwort!
Es freut mich, dass mein Ansatz doch der richtige war.
Diese Differentialgleichung war dann in der Tat leicht zu lösen, da wir es ja mit einer DGL mit einem Malthusschen Parameter zu tun haben.

In der b) soll man nämlich die Population bei vorgegebenen Raten und einem gegebenen Anfangswert untersuchen und mit diesem Ansatz komme ich dann gerade auf das Ergebnis, dass die Studentenzahl konstant bleibt.

(Raten waren hier gegeben als a=10%, r=2%, d=8%, n=20%). Wobei das sehr unrealistisch ist, da der Teil a meistens höher ist. :p

Nochmals danke! Ein gutes Gefühl, wenn man doch mehr verstanden hat, als man sich anfangs eingestehen wollte. smile
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Population der Mathematikstudenten
Zitat:
Original von alcardaalanda
Da die Betreuung der Studenten mit zunehmender Anzahl an Studenten schlechter wird, gibt es jedes Jahr einen zweiten Anteil an Abbrechern, der proportional zur Anzahl ist.


Das finde ich jetzt etwas seltsam. Eigentlich müsste eine monoton steigende Funktion von sein, da die Qualität der Betreuung ja nicht unabhängig von der Zahl der Studenten ist, sondern gerade explizit von ihr abhängen soll und modelliert die Qualität der Betreuung. Nur wenn die Betreuung gleichbleibend gut (oder schlecht) wäre, dann wäre die Abbrecherrate konstant. Es sollte also meiner Meinung nach ein Term vorkommen. Damit würde die DGl allerdings nichtlinear werden.

Man könnte dies auch anders ausdrücken: Die Abbruchwahrscheinlichkeit erhöht sich mit der Zahl der Studenten. Wenn man also nur Zeitschritte betrachten würde, dann wäre ohne die anderen Einflussgrößen . Bei von unabhängiger Qualität wäre konstant und man käme wieder auf die Exponentialfunktion als Lösung.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt 4 Ursachen für die Änderung der Studentenzahl. Diese setzen sich additiv zur Gesamtänderungsrate zusammen. Eine dieser 4 Usachen ist der Abbruchrate infolge der Vernachlässigung der Studenten. Diese Vernachlässigung ist proportional zur Studentenzahl, also . Dabei gibt der Proportionalistätsfaktor r das Ausmaß der Vernachlässigung an.
 
 
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Allerdings ist keine Konstante. wäre nur konstant, wenn die Qualität der Betreuung unabhängig von wäre.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Qualität der Arbeit der "Betreuer" ist in der Tat unabhängig von der Studentenzahl y. Wenn sich aber die Studentenzahl verdoppelt, bekommt jeder Student von dieser gleich bleibenden Betreuung nur noch die Hälfte ab, so dass sich die Abbruchrate verdoppelt.

Da die Fragestellerin erst mit dem Thema Differenzialgleichungen begonnen hat, glaube ich, dass dabei zuerst nur lineare Gleichungen eine Rolle spielen. Ich würde hier also nicht so kompliziert denken.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ehos
Die Qualität der Arbeit der "Betreuer" ist in der Tat unabhängig von der Studentenzahl y.


Dem stelle ich den 1. Beitrag des Threaderstellers gegenüber:

Zitat:
Da die Betreuung der Studenten mit zunehmender Anzahl an Studenten schlechter wird, ...


Das ist entweder irreführend oder man muss das ernst nehmen, und damit würde die Qualität abhängig von y. Ich stimme dir zu, dass bei dem Threadersteller vermutlich gerade nur lineare DGl behandelt werden. Dann ist wohl doch die Aufgabenstellung irreführend. Das ist nicht zu kompliziert gedacht von mir, ich habe nur genau gelesen.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn gesagt wird, dass <Zitat> "die Betreuung der Studenten mit zunehmender Anzahl an Studenten schlechter wird", so ist wohl die Betreuung pro Studenten gemeint, also relativ. Ich muss dir aber zustimmen, dass die gesamte Aufgabe irreführend gestellt ist.
alcardaalanda Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat sich ja zu einer richtigen Diskussion entwickelt.

Wir hatten durchaus schon nichtlineare DGL's.

Wenn man das wirklich so sieht, wie RavenOnJ beschrieben hat, dann hätte ich also die DGL .
Wie kann ich diese lösen?
Ich denke, das sollte mit Trennung der Veränderlichen gut klappen, sodass ich auf
komme.


Allerdings ist hier kein Anfangswert gegeben. Nehme ich dann einfach einen "allgemeinen" Anfangswert und passe die Integralgrenzen entsprechend an?

Das Integral wird dann aber ziemlich unangenehm, habe ich das Gefühl, oder?
alcardaalanda Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es natürlich auch nicht richtig.

Ich kenne in diesem Fall ja meine Funktion gar nicht.

Ich hätte also die DGL

Der Ansatz mit Variablentrennung sollte aber doch trotzdem funktionieren, denke ich, oder?

Aber wie stellt man das an?

Edit: Oder besagt die Aufgabenstellung gerade, dass ist? Dann hätte ich ja die DGL wie in meinem vorigen Post angegeben.

Ich bin verwirrt...
alcardaalanda Auf diesen Beitrag antworten »

So, also ich hab jetzt mal mit dem Ansatz weitergerechnet. Dann führe ich eine Variablentrennung durch und integriere das Ganze, indem ich vorher eine Partialbruchzerlegung durchführe. Dann komme ich auf
und nach einiger Umformung auf



Stimmt das? Sieht nämlich ziemlich hässlich aus...
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Hässlich muss nicht falsch sein Augenzwinkern . Ich hab's allerdings noch nicht nachgerechnet.
alcardaalanda Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich muss ich noch anmerken, dass man jetzt nach Aufgabenstellung mit dem Anfangswert und den Raten rechnet.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Du hättest ja mal eine allgemeine, paramterisierte Lösung angeben können, ohne direkt mit konkreten Zahlen zu rechnen.
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