Eigenwerte und Eigenvektoren

16.01.2013, 18:11

Klösp

Eigenwerte und Eigenvektoren

Hallo zusammen

Ich habe noch Probleme mit dem ermitteln der Eigenwerte und besonders mit den Eigenvekotren.
Dabei ist mir das Rechneverfahren eigentlich soweit klar, nur bei der Ermittlung der Eigenvektoren zum Schluss hakt es bei mir immer noch ein wenig.

Aufgabe:

Die lineare Selbstabbildung P bilde die kanonischen Basisvektoren in folgender
Weise ab:
P(e1) = 5e1 + e3-e4
P(e2) = -3e2
P(e3) = 4e3 - 4e4
P(e4) = e3:

Ermitteln Sie samtliche Eigenwerte und Eigenraume der Abbildung P. Ist es möglich,
eine Basis des R4 anzugeben, die aus lauter Eigenvektoren der Abbildung P besteht?

Zuerst berechne ich das char. Polynom.
$\begin{eqnarray*} t^4-6t^2-3t^2+52-60 \end{eqnarray*}$

Das ist wohl soweit noch richtig.

Die Eigenwerte sind
$\begin{eqnarray*} -3, 2, 2 , 5 \end{eqnarray*}$

Dann will ich die Eigenvektoren berechenen.

(Ich hab den linear abhängigen Vektor jetzt jeweils nicht mehr mit aufgeführt)

t=2

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L1=((x1=0,x2=0,x3=0,5x4,x4\in \mathbb R )(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1s \\ 2s\end{pmatrix} s\in \mathbb R ) \end{eqnarray*}$

Das könnte ja soweit auch stimmen.

t=5

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 & -8 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 1\\ -1 & 0 & -4 & -5 \end{vmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 & -8 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & -5 & -4 \end{vmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L1=((x1=\frac{-9}{5}x4 ,x2=0,x3=\frac{-4}{5}x4,x4\in \mathbb R )(\begin{pmatrix} -9s \\ 0 \\ -4s \\ 5s\end{pmatrix} s\in \mathbb R ) \end{eqnarray*}$

Auch das könnte noch stimmen.

t=-3

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 7 & 1\\ -1 & 0 & -4 & 3 \end{vmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} L1=((x1=0,x2=0,x3=\frac{-1}{7}x4,x4\in \mathbb R )(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1s \\ 7s\end{pmatrix} s\in \mathbb R ) \end{eqnarray*}$

und das kann ja dann nicht hinhauen.

Laut Eigenwertrechner wäre $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1s \\ 0\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein Eigenvektor.
Das stimmt ja auch offensichtlich, nur frag ich mich wie ich da rechnerisch drauf kommen.
Wäre nett wenn mal jemand schauen könnte was ich da falsch mache, weil ich schon häufiger bei ähnlichen Aufgaben das selbe Problem hatte.

Danke im Vorraus

17.01.2013, 10:04

klarsoweit

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RE: Eigenwerte und Eigenvektoren

Zitat:

Original von Klösp
Zuerst berechne ich das char. Polynom.
$\begin{eqnarray*} t^4-6t^2-3t^2+52-60 \end{eqnarray*}$

Das ist wohl soweit noch richtig.

Nun ja, zum Teil. Richtig ist: $\begin{eqnarray*} t^4 - 6t^3 - 3t^2 +52t - 60 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Klösp
$\begin{eqnarray*} L1=((x1=0,x2=0,x3=0,5x4,x4\in \mathbb R )(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1s \\ 2s\end{pmatrix} s\in \mathbb R ) \end{eqnarray*}$

Das könnte ja soweit auch stimmen.

Auch nur zum Teil, wobei ich mich mit der Darstellung nicht so recht anfreunden kann.

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} L1=((x1=0,x2=0,x3=0,5x4,x4\in \mathbb R )(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1s \\ 2s\end{pmatrix} s\in \mathbb R ) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Klösp
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 7 & 1\\ -1 & 0 & -4 & 3 \end{vmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} L1=((x1=0,x2=0,x3=\frac{-1}{7}x4,x4\in \mathbb R )(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1s \\ 7s\end{pmatrix} s\in \mathbb R ) \end{eqnarray*}$

Da solltest du erstmal die Matrix in Zeilenstufenform bringen. smile

17.01.2013, 14:41

Klösp

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Danke erstmal.

Die oberen beiden Fehler sind mir nur beim Eintippen passiert, hatte ich eigentlich richtig gehabt.

zu t=-3
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 8 & 0 & 0 & 0\\0 &0 & 7 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{17}{7} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
dann ist
x1,x3,x4=0

aber klar wieso x2=s ist, ist mir immer noch nicht.

ich hätte halt so wie ich es bisher immer gemacht habe gesagt, x2=0.

Das ist zwar denke ich dann nicht komplett falsch, nur entspricht das nicht der Lösung und eine Basis kann ich auch nicht mehr bilden wenn ich den Nullvektor nicht ausschließe.

Danke im Vorraus

17.01.2013, 14:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von Klösp
aber klar wieso x2=s ist, ist mir immer noch nicht.

Offensichtlich kannst du x2 beliebig wählen. Das ist ja auch nichts neues, wenn in einer Matrix eine Nullspalte auftritt. Sonst wäre nach deiner Methode bei einer kompletten Nullmatrix nur der Nullvektor die einzige Lösung. Augenzwinkern

17.01.2013, 15:12

Klösp

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jetzt wo du es schreibst machts Sinn^^

Da hatte ich einfach immer einen Denkfehler drinn.

und die Basis ergibt sich dann z.B durch?

$\begin{eqnarray*} B1=\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -9 \\ 0 \\ -4\\ 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

17.01.2013, 15:16

klarsoweit

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Da der 2. Vektor das doppelte vom 1. Vektor ist, gehört der nicht darein. smile

17.01.2013, 15:28

Klösp

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stimmt, aber die ersten beiden Vektoren werden ja immer abhängig sein.
Heißt das, dass ich in diesem Fall keine Basis angeben kann?

17.01.2013, 15:49

klarsoweit

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Genau. Dazu hätte der Eigenraum zum Eigenwert 2 die Dimension 2 haben müssen. smile

17.01.2013, 15:53

Klösp

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und das wäre der Fall gewesen wenn ich beim Eigentwert 2 nur 2 Gleichungen "übrig gehabt" hätte, richtig?

Kann es eigentlich auch den Fall geben, dass keine lineare Abhängigkeit ensteht und ich ein normales lin. Gleichungssystem lösen muss?

Ich schätze mal eher nicht, weil wenn ich ein Eigenvektor zum z.B Eigenwert 2 gefunden hab muss das ja auch für alle vielfachen des Eigenvektors stimmen.

17.01.2013, 16:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von Klösp
und das wäre der Fall gewesen wenn ich beim Eigentwert 2 nur 2 Gleichungen "übrig gehabt" hätte, richtig?

Ja.

Zitat:

Original von Klösp
Kann es eigentlich auch den Fall geben, dass keine lineare Abhängigkeit ensteht und ich ein normales lin. Gleichungssystem lösen muss?

Na ja, was ist denn ein "unnormales" lin. Gleichungssystem? Da immer ein Eigenvektor rauskommen muß, der vom Nullvektor verschieden ist, muß im Gleichungssystem eine Nullzeile entstehen.

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