Isomorphie zeigen

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Derive13 Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphie zeigen
Hi smile

ich soll folgende Aufgabe lösen und mir fehlt ein Ansatz für die Herangehensweise:

Sei V der Vektorraum aller Polynome über dem Körper K. Zeigen Sie: Der Dualraum V* ist isomorph zum Vektorraum aller Folgen {a[n] : a[n] € K}

Ich weiß, dass der Dualraum V* die Menge alle linearen Abbildungen f: V --> K ist, also alle Abbildungen, die ein Polynom auf ein Körperelement abbilden (zb R).

Doch wie zeige ich jetzt Isomorphie? Mein erste Gedanke war, dass ich 2 bijektive lineare Abbildungen konstruieren muss (eine, f: V -> R und eine g: R-> F, wobei F der Vektorraum aller Folgen sein soll), da deren Komposition dann auch ein Isomorphismus ist. Aber es hapert schon, wenn ich alle Polynome bijektiv auf einen Körper abbilden soll..

Kann mir wer auf die Sprünge helfen?

Danke smile
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen,

Zitat:
Doch wie zeige ich jetzt Isomorphie? Mein erste Gedanke war, dass ich 2 bijektive lineare Abbildungen konstruieren muss (eine, f: V -> R und eine g: R-> F, wobei F der Vektorraum aller Folgen sein soll), da deren Komposition dann auch ein Isomorphismus ist.

Das ist etwas umständlich es genügt eine lineare + bijektive Abbildung anzugeben.

Zitat:
Aber es hapert schon, wenn ich alle Polynome bijektiv auf einen Körper abbilden soll..

Ich wüßte nicht wo du das hier machen solltest.

Bedenke, dass eine lineare Abb. durch die Bilder der Basisvektoren bereits vollständig definiert ist, also dzrch .

Vielleicht siehst du ja jetzt wie man daraus eine Folge basteln kann.
Derive13 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber geht das mit den Bildern der Basisvektoren nicht nur, wenn man endlichdimensionale Vektorräume abbildet? Also wenn ich den Vektorraum aller Polynome betrachte, dann hat der doch als Basis die Monome also

1, x, x^2, x^3 ....

Kann ich auf diese Basis überhaupt zurückgreifen, wenn ich den Dualraum abbilden soll??
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt übrigens allgemein:

Ist ein K-VR mit Basis und ein weiterer K-VR, so ist



als K-Vektorräume.

Das kannst du ja mal versuchen zu zeigen. Wenn man weiß, dass eine lineare Abb. eindeutig durch die Bilder einer Basis gegeben ist, ist es nur eine Formalität.

In deinem Fall ist dann und
Derive13 Auf diesen Beitrag antworten »

Also könnte ich ganz einfach eine abbildung über die basisvektoren definieren, indem ich
die Basiselemente x^0, x^1, x^2.... auf ihren exponenten abbilde? Diese bildet die Folge dann über ihre Bildungsvorschrift auf alle möglichen Elemente von K ab.

also f(x^n)=n??
Derive13 Auf diesen Beitrag antworten »

Oder brauch ich hier, dass ich jedes Polynom p so schreiben kann



und die Koeffizienten gleich meine Folge ergeben?
Obige Abbildung wäre zumindest linear, bijektiv überschau ich grad nicht.

Bin grad echt ein wenig planlos..^^ Mich stört am meisten dieser Dualraum, was das is, weiß ich, aber wie eine Menge von Abbildungen isomorph zu irgendwas sein kann, seh ich grad nicht unglücklich

danke für eure Hilfe bisher!
 
 
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