Abbildungsmatrix direkte Summe

17.01.2013, 18:37

Timbonane

Abbildungsmatrix direkte Summe

Hallo!

Es geht um folgendes: Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} V:=\mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ die direkte Summe der Unterräume

$\begin{eqnarray*} U:=\mathcal L(\lbrace\begin{pmatrix}1\\2\\1\\3\end{pmatrix}=a_1,\begin{pmatrix}0\\1\\2\\1\end{pmatrix}=a_2\rbrace) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} W:=\mathcal L(\lbrace\begin{pmatrix}1\\4\\7\\4\end{pmatrix}=b_1,\begin{pmatrix}2\\3\\-1\\8\end{pmatrix}=b_2\rbrace) \end{eqnarray*}$
ist und berechnen Sie die Matrix der durch $\begin{eqnarray*} x\rightarrow w \in W \end{eqnarray*}$ gegebenen linearen Abbildung von V nach V.
Dabei ist w die in W liegende Komponente von x: Es ist also $\begin{eqnarray*} x = u + w \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} w \in W \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz ist jetzt nun, zuerst zu zeigen, dass U+W direkt ist, was ich auch schon gemacht habe, ich habe untersucht ob die 4 Vektoren l.u. sind, und ob der Durchschnitt leer ist, d.h. ich muss jetzt noch die Abbildungsmatrix bestimmen..
Ich weis, dass eine Abbildungsmatrix eindeutig durch die Bilder der Basis bestimmt ist, aber ich weis nicht wie ich dies in diesem Fall in eine Matrix übertragen könnte?

Wenn ich mir z.b. ein x \in V hernehme, dann hat dies ja eindeutig die Darstellung:
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 a_1+\lambda_2 a_2+\lambda_3 b_1+\lambda_4 b_2 \end{eqnarray*}$ ...

D.h. meine Abbildung müsste diese Linearkombinationen dann ja auf
$\begin{eqnarray*} 0 a_1+0 a_2+\lambda_3 b_1+\lambda_4 b_2 \end{eqnarray*}$
abbilden, oder?
Das heisst im Prinzip ja auch nichts anderes, als dass $\begin{eqnarray*} U=ker(f) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W=Im(f) \end{eqnarray*}$ ist, oder?

müsste dann die Matrix so irgendwie aussehen?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0 & 0&1&1\\0 & 0&1&1\\0 & 0&1&1\\0 & 0&1&1\\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Über Richtig- sowie Hilfestellungen würde ich mich freuen, und sage bereits im voraus Danke!

lg

17.01.2013, 22:04

Timbonane

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RE: Abbildungsmatrix direkte Summe
Ich habe jetzt ein bisschen herumprobiert, und bin auf die Idee gekommen, dass die Matrix so aussehen könnte:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich mir jetzt z.b. $\begin{eqnarray*} f(a_1) \end{eqnarray*}$ ansehe, also $\begin{eqnarray*} A*a_1 \end{eqnarray*}$ , dann komm ich ja auf den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1\\ 3\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ...
Aber müsste nicht $\begin{eqnarray*} f(a_1)=0 \end{eqnarray*}$ sein, weil der Teil w von $\begin{eqnarray*} a_1=u+w \end{eqnarray*}$ gleich 0 ist? Das heist im Prinzip bin ich gleich weit wie vorher LOL Hammer

Bitte um Hilfe, die Verwirrung ist groß

17.01.2013, 22:31

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RE: Abbildungsmatrix direkte Summe
Bei der Berechnung von $\begin{eqnarray*} A*a_1 \end{eqnarray*}$ hast du die Darstellung von a_1 bzgl der kanonischen Basis des R^4 benutzt. Du hast aber die Basis gewechselt.

17.01.2013, 22:39

Timbonane

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RE: Abbildungsmatrix direkte Summe
Hm, heistt das also ich müsste zuerst eine Basistransformation in die kanonische Basis machen, dann meine Abbildungsmatrix A, und dann wieder eine Transformation zurück?

Also im Prinzip $\begin{eqnarray*} T_W^K*A*T_K^W \end{eqnarray*}$ berechnen?

17.01.2013, 23:06

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RE: Abbildungsmatrix direkte Summe
In der Aufgabe steht nur, dass man die Matrix der linearen Abbildung berechnen soll. Da ist erstmal nicht gesagt, bzgl. welcher Basis man das machen soll. Wenn es die kanonische sein soll, ist in der Tat Basistransfo gefragt.

17.01.2013, 23:12

Timbonane

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RE: Abbildungsmatrix direkte Summe
Bezüglich welcher Basis wir das machen, ist glaub ich uns überlassen, aber ich wüsste nicht wie ich auf die Abbildungsmatrix kommen könnte, ohne zuerst in die kanonische Basis zu transformieren Big Laugh

Danke schonmal bis hierher Big Laugh

17.01.2013, 23:17

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RE: Abbildungsmatrix direkte Summe
Und was hast du hier getan?

Zitat:

Original von Timbonane
Ich habe jetzt ein bisschen herumprobiert, und bin auf die Idee gekommen, dass die Matrix so aussehen könnte:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

17.01.2013, 23:18

Timbonane

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RE: Abbildungsmatrix direkte Summe
D.h. jetzt also, dass meine Matrix $\begin{eqnarray*} T_K^W=(a_1,a_2,b_1,b_2) \end{eqnarray*}$ , weil ich ja in die kanonische Basis transformiere, und $\begin{eqnarray*} T_W^K=(T_K^W)^{-1} \end{eqnarray*}$ oder?

17.01.2013, 23:22

Timbonane

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RE: Abbildungsmatrix direkte Summe
Naja, ich hab mir überlegt, dass ja $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ auf die 0 abbilden müssen, daher 2 0-Zeilen, und von $\begin{eqnarray*} b_2 \end{eqnarray*}$ kann eine Komponente kommen, daher die 1. eins, und von $\begin{eqnarray*} b_4 \end{eqnarray*}$ kann auch eine Komponente kommen...Ich hab halt versucht, was ich mittels Skriptum und Wikipedia über Abbildungsmatrizen gefunden hab, umzusetzen

Ich steck irgendwie noch immer bei dem Gedanken, dass ich wenn ich Basis lese, automatisch an die Standardbasis denke..

17.01.2013, 23:27

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RE: Abbildungsmatrix direkte Summe
Deine Überlegungen bescheren dir doch gerade die Matrix der gegebene Abbildung - übrigens die Projektion auf den Unterraum W - bzgl. der Basis $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,b_1,b_2 \end{eqnarray*}$

17.01.2013, 23:29

Timbonane

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RE: Abbildungsmatrix direkte Summe
d.h. meine Matrix A ist die gesuchte Matrix? oder ist damit jetzt die Matrix $\begin{eqnarray*} T_W^K*A*T_K^W \end{eqnarray*}$ gemeint?

edit: Falls es nicht die 2. ist, weis ich nicht warum, das wär für mich die plausiblere von den beiden

17.01.2013, 23:41

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RE: Abbildungsmatrix direkte Summe
Die gesuchte Matrix gibt es nicht. Die Matrix der Abbildung hängt immer von den betrachteten Basen ab (deswegen fragte ich auch, bzgl. welcher Basis du das machen sollst).
Die Spalten der Matrix sind die Bilder der Basisvektoren. Wenn du also die Basis $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,b_1,b_2 \end{eqnarray*}$ verwendest, ist
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
die Matrix der Abbildung.

18.01.2013, 12:24

Timbonane

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RE: Abbildungsmatrix direkte Summe
Ah Ok dann hab ich einfach zu umständlich gedacht, vielen lieben Dank!

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