Basis zu einem durch eine Gleichung geg. Unterraum

18.01.2013, 10:50

Unterraum123

Basis zu einem durch eine Gleichung geg. Unterraum

Meine Frage:
Hallo an alle,

ich habe folgenden Unterraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^5 \end{eqnarray*}$ gegeben:
$\begin{eqnarray*} U = \left\{ x \in \mathbb R^5 : x_1 - x_2 = x_1 - 2x_4 - x_5 = x_3 = 0\right\} \end{eqnarray*}$

Zu diesem möchte ich nun eine Basis finden und deren Dimension angeben ...

Meine Ideen:
Dies fällt mir relativ schwer, da der Unterraum durch eine Gleichung gegeben ist. Habe ich eine fixe Anzahl an Vektoren, so kann man diese als Zeilenvektoren in eine Matrix schreiben und die Basis daraus mittels Gauß ermitteln.

Wie kann ich hier vorfahren? Wie muss ich mir hier die Basis vorstellen? Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen smile

18.01.2013, 11:05

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis zu einem durch eine Gleichung geg. Unterraum
Eigentlich mußt du doch nur ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen lösen. Das sollte ja wohl kein Problem sein. Augenzwinkern

18.01.2013, 11:16

Unterraum123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis zu einem durch eine Gleichung geg. Unterraum

Zitat:

Original von klarsoweit
Eigentlich mußt du doch nur ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen lösen. Das sollte ja wohl kein Problem sein. Augenzwinkern

Nun, dass habe ich gemacht. Dafür erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_1 \\ 0 \\ \frac{x_1-x_5}{2} \\ x_1 - 2x_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das schon die Basis? Falls ja, dann hat sie doch die Dimension 1 oder?

18.01.2013, 11:31

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis zu einem durch eine Gleichung geg. Unterraum
Also das ist für mich keine Basis, sondern nur eine andere Darstellung des Unterraums. Schreibe doch mal die 3 Gleichungen explizit hin und löse das lineare Gleichungssystem, wie du es auch sonst gewohnt bist (Gauß-Verfahren).

18.01.2013, 11:39

Unterraum123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis zu einem durch eine Gleichung geg. Unterraum

Zitat:

Original von klarsoweit
Also das ist für mich keine Basis, sondern nur eine andere Darstellung des Unterraums. Schreibe doch mal die 3 Gleichungen explizit hin und löse das lineare Gleichungssystem, wie du es auch sonst gewohnt bist (Gauß-Verfahren).

Nun, dass habe ich doch gemacht. Ich erhalte dann:
$\begin{eqnarray*} x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_4 = \frac{x_1-x_5}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_5 = x_1 - 2x_4 \end{eqnarray*}$

Und nun?

18.01.2013, 11:55

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis zu einem durch eine Gleichung geg. Unterraum
Nein, sorry, daß ist für mich kein sauberes homogenes lineares Gleichungssystem.

In meinem Weltbild stehen da alle Variablen auf der linken Seite (und zwar so, daß man auch schön die jeweiligen Koeffizienten ablesen kann) und rechts nur Nullen.

18.01.2013, 12:56

Unterraum123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis zu einem durch eine Gleichung geg. Unterraum

Zitat:

Original von klarsoweit
Nein, sorry, daß ist für mich kein sauberes homogenes lineares Gleichungssystem.

Sorry, du meinst: $\begin{eqnarray*} 2x_1 - x_2 + x_3 - 2_x4 - x_5 = 0 \end{eqnarray*}$

18.01.2013, 12:59

Unterraum123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis zu einem durch eine Gleichung geg. Unterraum

Zitat:

Original von Unterraum123Sorry, du meinst: $\begin{eqnarray*} 2x_1 - x_2 + x_3 - 2_x4 - x_5 = 0 \end{eqnarray*}$

Und ich meinte: $\begin{eqnarray*} 2x_1 - x_2 + x_3 - 2x_4 - x_5 = 0 \end{eqnarray*}$

18.01.2013, 14:06

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis zu einem durch eine Gleichung geg. Unterraum
Ich weiß ja jetzt nicht, wie du darauf gekommen bist. Also wenn ich mir das mal anschaue:

Zitat:

Original von Unterraum123
ich habe folgenden Unterraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^5 \end{eqnarray*}$ gegeben:
$\begin{eqnarray*} U = \left\{ x \in \mathbb R^5 : x_1 - x_2 = x_1 - 2x_4 - x_5 = x_3 = 0\right\} \end{eqnarray*}$

dann steht da:

I) $\begin{eqnarray*} x_1 - x_2 = 0 \end{eqnarray*}$
II) $\begin{eqnarray*} x_1 - 2x_4 - x_5= 0 \end{eqnarray*}$
III) $\begin{eqnarray*} x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Zu diesem System mußt du den Kern bestimmen.

18.01.2013, 14:12

Unterraum123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis zu einem durch eine Gleichung geg. Unterraum

Zitat:

Original von klarsoweit
I) $\begin{eqnarray*} x_1 - x_2 = 0 \end{eqnarray*}$
II) $\begin{eqnarray*} x_1 - 2x_4 - x_5= 0 \end{eqnarray*}$
III) $\begin{eqnarray*} x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
Zu diesem System mußt du den Kern bestimmen.

Nun, was genau bedeutet dies denn nun? Wie genau muss ich hier den Kern bestimmen und wofür? Ziel ist es doch, eine Basis für diesen Unterraum zu finden.

Vielleicht versteh ich es auch einfach nicht ...

18.01.2013, 14:26

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis zu einem durch eine Gleichung geg. Unterraum

Zitat:

Original von Unterraum123
Ziel ist es doch, eine Basis für diesen Unterraum zu finden.

Genau. Und dazu mußt du eben dieses Gleichungssystem lösen. Falls du das noch nicht gelernt haben solltest, dann ist für dich (in jedem Fall aber für mich) die Aufgabe an dieser Stelle beendet.

18.01.2013, 17:22

Unterraum123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis zu einem durch eine Gleichung geg. Unterraum

Zitat:

Original von klarsoweitFalls du das noch nicht gelernt haben solltest, dann ist für dich (in jedem Fall aber für mich) die Aufgabe an dieser Stelle beendet.

Was ist denn das für ein Kommentar? Würde ich denn hier eine Frage stellen, wenn ich bereits alles gelernt hätte? Wohl kaum, oder?! Ich hatte mir erhofft, dass jemand so freundlich wäre und mir kurz erklärt, wie man hier vorgeht oder mich an eine Stelle verweisen kann, wo ich dies selbst nachlesen kann.

18.01.2013, 17:48

Unterraum123

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, ich denke es nun doch gelöst zu haben. Das zu lösende Gleichungssystem lautet:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_2 \\ x_2 \\ 0 \\ x_4 \\ x_2 - 2x_4 \end{pmatrix} = x_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + x_4 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Demnach müsste die Basis folgendermaßen lauten:
$\begin{eqnarray*} Basis = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Die Dimension ist 2.

Neue Frage »

Antworten »

Basis zu einem durch eine Gleichung geg. Unterraum

Verwandte Themen