Grenzwert

15.02.2007, 09:57

Cru

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Grenzwert

hallo...
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to -\infty } x \cdot e^x \end{eqnarray*}$
Das ist doch der Typ $\begin{eqnarray*} \infty \cdot 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to -\infty } \frac{e^x }{ \frac{1}{x} } \end{eqnarray*}$
jetzt hab ich doch $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ oder?
Und nun per Del'H ableiten!
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to -\infty } \frac{e^x }{ -\frac{1}{x^{2}} } \end{eqnarray*}$
ist doch wieder $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$
und nun?

15.02.2007, 10:04

klarsoweit

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von Cru
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to -\infty } x \cdot e^x \end{eqnarray*}$

Du meinst vermutlich $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } x \cdot e^x \end{eqnarray*}$

Sinnvoller ist die Umformung:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } x \cdot e^x = \lim_{x \to -\infty }~\frac{x}{ e^{-x}} \end{eqnarray*}$
und dann l'Hospital. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.02.2007, 10:11

Cru

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Cru
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to -\infty } x \cdot e^x \end{eqnarray*}$

Du meinst vermutlich $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } x \cdot e^x \end{eqnarray*}$

genau

Augenzwinkern

Zitat:

Original von klarsoweit
Sinnvoller ist die Umformung:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } x \cdot e^x = \lim_{x \to -\infty }~\frac{x}{ e^{-x}} \end{eqnarray*}$
und dann l'Hospital. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} = \lim_{x \to -\infty }~\frac{1}{ -e^{-x}} \end{eqnarray*}$
und was ist das jetzt? Ich seh es nicht!

15.02.2007, 10:27

klarsoweit

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RE: Grenzwert
Nun ja. Wohin geht der Nenner?

Von mir aus wende auch $\begin{eqnarray*} e^{-x} = \frac{1}{e^x} \end{eqnarray*}$ an.

15.02.2007, 10:40

Cru

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der geht gegen 0!
Also ist der Grenzwert 0!

15.02.2007, 11:05

klarsoweit

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Zitat:

Original von Cru
der geht gegen 0!

unglücklich

Der Nenner geht nicht gegen 0, sondern gegen unendlich. Insgesamt ist der Grenzwert dann Null.

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15.02.2007, 13:43

Cru

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Cru
der geht gegen 0!

unglücklich

Der Nenner geht nicht gegen 0, sondern gegen unendlich. Insgesamt ist der Grenzwert dann Null.

Hammer

ist schon alles zuviel heute wieder... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nützt aber nichts! Hier noch eine Aufgabe!
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to e^{-}} \frac{1-ln(x)}{(x-e)^2} \end{eqnarray*}$ Ist von Typ $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$
einmal abgeleitet nach l'Hospital
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to e^{-}} \frac{\frac{1}{x}}{2(x-e)} \end{eqnarray*}$
kann ich das jetzt schon sehen? Bin ich auf den richtigen Weg?

15.02.2007, 13:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von Cru
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to e^{-}} \frac{1-ln(x)}{(x-e)^2} \end{eqnarray*}$ Ist von Typ

Vernutlich meinst du:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to e} \frac{1-ln(x)}{(x-e)^2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Cru
einmal abgeleitet nach l'Hospital

Da war ein Minus vor dem ln. Das solltest du nicht verschlampern.

Zitat:

Original von Cru
kann ich das jetzt schon sehen?

Keine Ahnung. Ich jedenfalls schon. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.02.2007, 14:04

Cru

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Cru
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to e^{-}} \frac{1-ln(x)}{(x-e)^2} \end{eqnarray*}$ Ist von Typ

Vernutlich meinst du:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to e} \frac{1-ln(x)}{(x-e)^2} \end{eqnarray*}$

Stimmt statt n ein x aber ich hab 2 Varianten der Aufgabe
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to e^{-}} \frac{1-ln(x)}{(x-e)^2} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to e^{+}} \frac{1-ln(x)}{(x-e)^2} \end{eqnarray*}$
also einmal mit $\begin{eqnarray*} e^- \end{eqnarray*}$ und einmal mit $\begin{eqnarray*} e^+ \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Cru
einmal abgeleitet nach l'Hospital

Da war ein Minus vor dem ln. Das solltest du nicht verschlampern.

Zitat:

Original von Cru
kann ich das jetzt schon sehen?

Keine Ahnung. Ich jedenfalls schon. Augenzwinkern

Augenzwinkern

stimmt das Minus hab ich vergessen! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich kann es nicht sehen! Warum nur? Hammer

Hammer

also für $\begin{eqnarray*} e^- \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to e^{-}} \frac{-\frac{1}{x}}{2(x-e)} \end{eqnarray*}$
wenn ich für x $\begin{eqnarray*} e^- \end{eqnarray*}$ einsetzte hab ich
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to e^{-}} \frac{-\frac{1}{e^-}}{2(e^--e)} \end{eqnarray*}$
geht das dann gegen Null?

15.02.2007, 14:09

klarsoweit

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Zitat:

Original von Cru
also einmal mit $\begin{eqnarray*} e^- \end{eqnarray*}$ und einmal mit $\begin{eqnarray*} e^+ \end{eqnarray*}$

Ach so, ok.
Also der Zähler geht gegen -1/e, der Nenner geht gegen Null. Je nachdem x > e bzw. x < e ist, ändert sich das Vorzeichen des Bruchs.

Im ürbigen kann man nicht für x $\begin{eqnarray*} e^- \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} e^+ \end{eqnarray*}$ einsetzen. Das ist schließlich keine Zahl, sondern sagt nur, von welcher Seite sich das x an e annähert.

15.02.2007, 14:31

Cru

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Zitat:

Original von klarsoweit
Im ürbigen kann man nicht für x $\begin{eqnarray*} e^- \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} e^+ \end{eqnarray*}$ einsetzen. Das ist schließlich keine Zahl, sondern sagt nur, von welcher Seite sich das x an e annähert.

Stimmt jetzt wo du es sagst! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Okay noch mal, damit ich ganz sicher bin!
Der Nenner ist $\begin{eqnarray*} 2(e-e) = 2\cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$
Darum geht alles gegen Null?

Und noch eine Aufgabe!
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^{sin(x^{2} )} \end{eqnarray*}$
Ist da das Ergebnis 2, mit umstellen und zweifachen ableiten mit l'Hospital?

15.02.2007, 15:17

klarsoweit

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Zitat:

Original von Cru
Darum geht alles gegen Null?

Nein, nur der Nenner geht gegen Null. Der Zähler geht - wie oben schon gesagt - gegen -1/e. Das ganze geht dann also gegen ... ?

Zitat:

Original von Cru
Ist da das Ergebnis 2, mit umstellen und zweifachen ableiten mit l'Hospital?

Möglich. Schreib mal deine Rechnung hin.

16.02.2007, 08:39

Cru

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Cru
Darum geht alles gegen Null?

Nein, nur der Nenner geht gegen Null. Der Zähler geht - wie oben schon gesagt - gegen -1/e. Das ganze geht dann also gegen ... ?

..Null!

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Cru
Ist da das Ergebnis 2, mit umstellen und zweifachen ableiten mit l'Hospital?

Möglich. Schreib mal deine Rechnung hin.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^{sin(x^{2} )} \end{eqnarray*}$
mmhh okay..
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^{sin(x^{2} )} =e^{\lim_{x \to 0} ln(x) \cdot sin(x^{2}) }=\lim_{x \to 0} ln(x) \cdot sin(x^{2}) = \lim_{x \to 0} \frac{sin(x^{2})}{\frac{1}{ln(x)} } =_{l'H}\lim_{x \to 0} \frac{2x\cdot cos(x^{2})}{\frac{x}{1} } =_{l'H}\lim_{x \to 0} \frac{2\cdot cos(x^{2})-2x\cdot 2x\cdot sin(x^{2}) }{1 } = 2 =e^2 \end{eqnarray*}$
mmhh was ist den $\begin{eqnarray*} e^2 \end{eqnarray*}$ Hammer

Hammer

Hoffe ich hab keinen Fehler gemacht!..

16.02.2007, 09:10

klarsoweit

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Zitat:

Original von Cru
..Null!

Du bist etwas hartnäckig. Ich sagte ja schon nein. Nimm mal einen Taschenrechner. Im Zähler steht etwas ungleich Null und im Nenner Zahlen, die immer näher an Null rangehen. Wohin geht dann der Bruch?

Zitat:

Original von Cru
$\begin{eqnarray*} e^{\lim_{x \to 0} ln(x) \cdot sin(x^{2}) }=\lim_{x \to 0} ln(x) \cdot sin(x^{2}) \end{eqnarray*}$

unglücklich

Du kannst nicht einfach die e-Funktion weglassen.

Zitat:

Original von Cru
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin(x^{2})}{\frac{1}{ln(x)} } =_{l'H}\lim_{x \to 0} \frac{2x\cdot cos(x^{2})}{\frac{x}{1} } \end{eqnarray*}$

Leider falsch. Die Ableitung von f(x) = 1/ln(x) ist nicht f'(x) = 1/(1/x) = x.

Am besten drehst du das um. Also:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\frac{ln(x)}{(sin(x^2))^{-1}} \end{eqnarray*}$

16.02.2007, 09:58

Cru

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Cru
..Null!

Du bist etwas hartnäckig. Ich sagte ja schon nein. Nimm mal einen Taschenrechner. Im Zähler steht etwas ungleich Null und im Nenner Zahlen, die immer näher an Null rangehen. Wohin geht dann der Bruch?

Hammer

Hammer

Forum Kloppe

traurig

LOL Hammer

ich bin echt doof...wat hab ich den für ein denkfehler im Kopf gehabt!

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Cru
$\begin{eqnarray*} e^{\lim_{x \to 0} ln(x) \cdot sin(x^{2}) }=\lim_{x \to 0} ln(x) \cdot sin(x^{2}) \end{eqnarray*}$

unglücklich

Du kannst nicht einfach die e-Funktion weglassen.

Ich lass die ja nicht weg, ich betrachte den oberen Teil und setzt das Ergebnis in die e-Funktion ein! Das geht doch oder?

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Cru
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin(x^{2})}{\frac{1}{ln(x)} } =_{l'H}\lim_{x \to 0} \frac{2x\cdot cos(x^{2})}{\frac{x}{1} } \end{eqnarray*}$

Leider falsch. Die Ableitung von f(x) = 1/ln(x) ist nicht f'(x) = 1/(1/x) = x.

Am besten drehst du das um. Also:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\frac{ln(x)}{(sin(x^2))^{-1}} \end{eqnarray*}$

jetzt hab ich da Null raus! und $\begin{eqnarray*} e^0 = 1 \end{eqnarray*}$ oder?
Will jetzt nicht die ganze rechnung in Latex schreiben!

16.02.2007, 10:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von Cru

Zitat:

unglücklich

Du kannst nicht einfach die e-Funktion weglassen.

Ich lass die ja nicht weg, ich betrachte den oberen Teil und setzt das Ergebnis in die e-Funktion ein! Das geht doch oder?

Im Prinzip ja. Trotzdem darfst du das nicht als Gleichungskette schreiben, sondern du mußt dann neu ansetzen: "Ich betrachte jetzt Limes von bladiblupp."

Das Endergebnis habe ich auch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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