Problem: Potenzgleichung mit Substitution lösen ? |
| 20.07.2004, 18:32 | The_Lion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Problem: Potenzgleichung mit Substitution lösen ? Ich arbeite mir die ganzen Sachen aus der Schule durch und stoße auch immer wieder mal auf Probleme. Ich bin gerade auch auf eins gestoßen. Es geht um eine Potenzgleichung. Ist ganz einfach. Nur gibt es da ein kleines Problem mit der Lösungsmenge, was mich verwirrt. Oder mein Kopf ist grad einfach durcheinander. (2x-1)^4 = 16 Wenn man diese Gleichung mithilfe der Substitution löst sieht das so aus: (2x-1)= z ergibt die neue Gleichung z^4=16 Lösung der neuen Gleichung: z=2 v z= -2 Rückgängigmachen der Substitution: (2x-1)=2 ; L1= {3/2} ; (2x-1) = -2 ; L2= {-1/2}, also L = {-1/2 ; 3/2}. Lösung der Anfangsgleichung ohne Substitution: (2x-1)^4 = 16 <=> 2x-1 = 16^1/4 (also 4te Wurzel aus 16) <=> 2x-1 = 2 <=> 2x = 3 <=> x = 3/2 L={3/2} Hierbei kommt nur 3/2 als Lösungsmenge raus, obwohl -1/2 auch richtig ist. Wieso ist das so ? Oder mache ich einen Denkfehler, den ich zur Zeit nicht sehe? Danke schonmal im voraus. |
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| 20.07.2004, 18:52 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wurzel ziehen ist keine äquivalente Umformung! (nur unter Randbedingungen die Du festlegen musst) So ist x^1/2 nur die Umkehrfunktion von x² auf der positiven Achse. Wenn Du x² = 4 nach x = 4^1/2 auflößt verlierst Du auch die negative Lösung, weswegen Du bei solchen Aufgaben nicht einfach blindlinks Wurzeln ziehen darfst. (Das was du bei z^4 beachtet hast musst Du auch beachten wenn Du die Wurzel ziehst! Würdest Du z^4 = 16 nach z = 16^1/4 auflösen bekämst Du auch nur eine Lösung) |
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| 20.07.2004, 18:54 | The_Lion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
achso, ok danke. |
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| 21.07.2004, 03:52 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Problem: Potenzgleichung mit Substitution lösen ?
2x-1 = 16^1/4 (also 4te Wurzel aus 16) 2x-1 = - 2 ..... ( (-2)^4 =16 ) x = -1/2 . |
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| 21.07.2004, 11:16 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nunja , ich häts so gemacht (2x-1)*(2x-1)*(2x-1)*(2x-1) = 16 Wir haben also 4 Faktoren, es kommen 2 Lösungen in Frage. Jetzt schau ich mir an wann 2x - 1 = 2 und 2x - 1 = -2 gilt, und hab die Lösung. |
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| 21.07.2004, 12:10 | The_Lion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Poff: Stimmt, das habe ich ganz außer Acht gelassen. Also darf man doch bei Potenzen die Wurzel ziehen oder ist das Wurzelzirhrn, wie am Anfang dieses Threads gesagt wurde, keine äquivalente Umformung? |
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| 21.07.2004, 12:14 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist definitiv keine äquivalente Umformung. Das was Poff gemacht hat ist die 16 in Faktoren aufzuspalten, und da ergab sich dann unter anderem auch die (-2)^4^1/4. Ich sagte auch, Du darfst nicht blindlinks Wurzeln ziehen, ich sagte nicht das Du es nicht darfst. Man muss nur vorher sicherstellen das man keine Lösung verliert wenn in etwa x² = 16 | x > 0 gilt, dann ist die Wurzel äquivalente Umformung , wenn aber x² = 16 ohne Einschränkung aufgestellt wird ist die Wurzel nicht mehr äquivalente umformung! Am besten sieht man den Sachverhalt an folgender Gleichungskette Ich ziehe auf beiden Seiten die Wurzel Das ist ja wohl falsch, obwohl die Ausgangaussage richtig war. Das heißt der Schritt die wurzel zu ziehen war nicht äquivalent(das heißt der Schritt hat die Aussage verändert!) obwohl ich keinen Fehler gemacht habe. Sinnvoll wäre es hier auch die 9 in Faktoren zu zerlegen, dann würde man äquivalent Wurzel ziehen können. |
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| 21.07.2004, 15:40 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
... du verlierst keine Lösung durch das Wurzelziehen, sondern du bekommt evtl Lösungen hinzu, die selbst keine Lösung des Ausgangsproblems sind. Durch Verifikation aller gefundenen Lösungen in der Ausgangs- bedingung lässt sich eventuelle Spreu vom Weizen trennen. . |
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| 21.07.2004, 15:55 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso verlier ich keine Lösungen? Die Wurzel ist definiert als diejenige positive Zahl so das , das Produkt dieser Zahl mit sich selbst x ergibt x² = 4 <=> x = sqrt(4) Nach Definition x = 2, Lösung -2 ist durch die Definition der Wurzel nicht zu erreichen, wenn mans direkt ausrechnet ohne die 4 zu zerlegen. Erlaubte man auch die -2 als lösung für sqrt(4) wäre die Wurzel keine Funktion mehr. edit Das steht soweit auch im Lexikon hier im Board. Die Lösung der Wurzel ist immer positiv, dadurch fällt die Lösung -2 bei direktem Ausrechnen der Wurzel weg. |
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| 21.07.2004, 16:26 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wer sagt denn dass Wurzelziehen, DIE Wurzel ist ? Für mich ist es eine Relation die nichts anderes liefert als all die Elemente deren entsprechende Potenz den Radikanden ergeben . |
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| 21.07.2004, 16:39 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich benutzt die Wurzel immer im Sinne des Funktionsbegriffs. Den was man macht ist die Umkehrfunktion einer Potenzfunktion zu bilden (auch wenn die Wurzel auch eine Potenzfunktion ist) Zu x² = a bilde ich die Umkehrfunktion die nunmal nur auf der postivien Achse definiert ist. |
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| 21.07.2004, 17:32 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mazze, es gibt jede Menge Funktionen die keine Umkehrfunktion haben. So auch gewisse Potenzfunktionen. (dennoch sind z.B. alle Nullstellen (per Def.) Wurzel(n) des entsprechenden Polynoms, ob es eine Umkehrfunktion gibt oder nicht) Hier geht es doch überhaupt nicht um einen Funktionsbegriff, sondern um algebraische Umformungen zur Ermittlung der Lösungs- menge einer algebraischen Bedingung ... Mit Funktionen hat das erstmal nicht zu tun. . |
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| 21.07.2004, 17:58 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na ok, ich hab halt immer den Funktionscharacter im Hinterkopf. Naja, wie er auf seine 2 Lösungen kommt weiß er ja durch deine Idee. Trotzdem steht fest das Wurzelziehen nicht äquivalent ist 
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| 22.07.2004, 00:03 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So wie du es machst, könntest du prinzipiell nur betrachten (wenn du konsequent wärst), dann wäre das Wurzelziehen ja äquivalent. Ansonsten stimme ich Poff aber zu, das hier hat erstmal nix mit Funktionen zu tun. Gruß vom Ben |
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| 22.07.2004, 00:41 | flixgott | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich hab jetzt mal anlässlich dieser diskussion die definition des wurzelbegriffs (im reellen) angeschaut. dabei fiel mir auf, dass ungerade wurzeln als definitiongebiet auch nur die nicht-negative x-achse haben. warum ist das so? dritte wurzel aus -8 acht kann doch bedenkenlos als -2 angenommen werden. @the lion: das ist ein polynom und keine potenzgleichung. |
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| 22.07.2004, 09:46 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Guckst du hier. Gruß vom Ben |
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| 22.07.2004, 11:52 | The_Lion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dasselbe wollte ich auch jetzt fragen
Das ist eine Potenzgleichung, habe das aus einem Heft. Habe also nicht selber gesagt dass das ne Potenzgleichung sei. |
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| 22.07.2004, 11:53 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau das meinte ich mit nicht blindlinks Wurzeln ziehen
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| 22.07.2004, 14:39 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
... man braucht doch garnicht dass z.B. (Wurzel 4) +2 ODER -2 sei, sondern um x^2 = a aufzulösen, reicht es zu wissen wann die entsprechenden Quadrate wieder a ergeben ... (sqrt(a))^2 = a ist und ebenfalls ist (- sqrt(a))^2 = a x^2 =a => {x=sqrt(a) oder x=-sqrt(a)} man beachte das Minuszeichen steht vor der Wurzel. Ähnliches für andere Potenzen ... . |
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| 22.07.2004, 18:04 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm, wenn du mich fragst, dann ist das erste das gleiche wie das zweite. Oder zumindest: Ich weiß das erste genau dann, wenn ich das zweite weiß. Gruß vom Ben |
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