Skalarprodukt in C

20.01.2013, 14:42

baba2k

Skalarprodukt in C

Hallo zusammen,

ich versuche mich gerade auf die nächste Übungsstunde vorzubereiten,
aber irgendwie verstehe ich die Aufgabe nicht:

Gegeben seien die Vektoren
$\begin{eqnarray*} \vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}, \vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}, \vec{w} = \begin{pmatrix} i \\ 2 \\ -i \end{pmatrix}, \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2+i \\ 3i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(i) Berechenen Sie die Skalarprodukte $\begin{eqnarray*} \vec{u}\cdot\vec{v} \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} \vec{w}\cdot\vec{x} \end{eqnarray*}$ .
(ii) Vergleichen Sie $\begin{eqnarray*} \vec{u}\cdot\vec{v} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{w}\cdot\vec{x} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
(i)
$\begin{eqnarray*} \vec{u}\cdot\vec{v}=\begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}=-2+21+5=24 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{w}\cdot\vec{x}= \begin{pmatrix} i \\ 2 \\ -i \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2+i \\ 3i \end{pmatrix}=i\cdot(\overline{-1})+2\cdot(\overline{2+i})-i\cdot\overline{3i}=-i+4-2i-3=1-3i \end{eqnarray*}$

Bei $\begin{eqnarray*} \vec{w}\cdot\vec{x} \end{eqnarray*}$ muss ich irgendwas falsch gemacht haben, kann das sein?
WolframAlpha sagt mir 7+i. Und wie soll ich das jetzt vergleichen?

20.01.2013, 15:17

weisbrot

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RE: Skalarprodukt in C
sowie das skalarprodukt in IR^n als $\begin{eqnarray*} <x, y> := x^T\cdot y \end{eqnarray*}$ definiert ist, ist es in IC^n als $\begin{eqnarray*} <x, y> := x^H\cdot y \end{eqnarray*}$ definiert. d.h. du hast den falschen vektor kompl. konjugiert.
lg

20.01.2013, 15:22

baba2k

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Mh wir haben es in der Vorlesung so definiert:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{y} = \begin{pmatrix} y_1 \\ ... \\ y_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x}\cdot\vec{y}= x_1\cdot\overline{y_1}+...+x_n\cdot\overline{y_n} \end{eqnarray*}$

Und jetzt? geschockt

20.01.2013, 15:25

Che Netzer

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RE: Skalarprodukt in C

Zitat:

Original von weisbrot
sowie das skalarprodukt in IR^n als $\begin{eqnarray*} <x, y> := x^T\cdot y \end{eqnarray*}$ definiert ist, ist es in IC^n als $\begin{eqnarray*} <x, y> := x^H\cdot y \end{eqnarray*}$ definiert. d.h. du hast den falschen vektor kompl. konjugiert.

Deine Version, d.h. konjugierte Linearität im ersten Argument, ist eher in der Physik üblich; in der Mathematik ist ein Skalarprodukt meist konjugiert linear im zweiten Argument.

Übrigens kannst du die spitzen Klammern mit \langle und \rangle darstellen: $\begin{eqnarray*} \langle x,y\rangle \end{eqnarray*}$ .

20.01.2013, 15:34

weisbrot

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RE: Skalarprodukt in C
@che: danke für den latexhinweis. aber das mit dem skalarprodukt will ich noch nicht ganz glauben. es erscheint doch so zumindest am natürlichsten zu definieren, weil man wie gesagt die analogie zum IR^n hat. aber ist wohl auch nicht so wichtig, ist beides konservativ..

@baba2k: wenn ihrs so definiert habt dann ists so auch richtig, ich dachte es gibt nur die eine version der def. (welche wohl auch wolfram alpha nutzt).

lg

20.01.2013, 15:35

baba2k

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Okay, aber was hab ich dann falsch gemacht, bzw. wie soll ich das jetzt bitte vergleichen? Die beiden Ergebnisse haben doch nichts miteinander zu tun?

Danke!

20.01.2013, 15:42

Che Netzer

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RE: Skalarprodukt in C

Zitat:

Original von weisbrot
@che: danke für den latexhinweis. aber das mit dem skalarprodukt will ich noch nicht ganz glauben. es erscheint doch so zumindest am natürlichsten zu definieren, weil man wie gesagt die analogie zum IR^n hat

Welche Analogie denn? Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \langle x,y\rangle=x^{\mathrm T}y=y^{\mathrm T}x\,. \end{eqnarray*}$

Und WolframAlpha scheint gar nichts konjugiert zu haben.

20.01.2013, 15:44

weisbrot

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du hast nichts falsch gemacht. weiß aber auch nicht was man da vergleichen sollte, da es ja unterschiedliche paare von vektoren sind. man könnte sagen das eine ist reell, das andere komplex Big Laugh

@che: stimmt, das ergibt nicht viel sinn^^

edit: ja, sehe grad dass wirs auch so gemacht haben, aber lina1 ist schon ein bisschen her..

lg

20.01.2013, 15:46

baba2k

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Oh mein Fehler so ist die Aufgabe:

(ii) Vergleichen Sie $\begin{eqnarray*} \vec{u}\cdot\vec{w} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{w}\cdot\vec{u} \end{eqnarray*}$ .

Vermutlich wird das eine das Komplement von dem anderen werden? Ich rechne es mal...

20.01.2013, 15:56

baba2k

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$\begin{eqnarray*} \vec{u}\cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} i \\ 2 \\ -i \end{pmatrix}=2\cdot\overline{i}+7\cdot\overline{2}+1\cdot(\overline{-i})=2\cdot(-i)+7\cdot2+1\cdot i=14-i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{w}\cdot \vec{u} = \begin{pmatrix} i \\ 2 \\ -i \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}=i\cdot\overline{2}+2\cdot\overline{7}-i\cdot\overline{1}=i\cdot2+2\cdot7-i\cdot1=14+i \end{eqnarray*}$

Es wurde also nur der imaginäre Teil konjogiert oder hab ich einen rechenfehler?

20.01.2013, 16:00

weisbrot

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ich hab nicht nachgerechnet aber das klingt vernünftig Augenzwinkern

du kannst dir auch überlegen warum das kein zufall ist.
lg

20.01.2013, 16:07

baba2k

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Naja wenn der Realteil konjogiert das selbe ergibt und der Imaginärteil das Komplement, dann wird ja der Imaginärteil gespiegelt und ist das negative.

Keine Ahnung, ob ich das halbwegs mathematisch korrekt ausgedrückt habe smile

20.01.2013, 16:13

weisbrot

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Zitat:

Naja wenn der Realteil konjogiert das selbe ergibt und der Imaginärteil das Komplement, dann wird ja der Imaginärteil gespiegelt und ist das negative.

ja, das ist was komplexe konjugation macht Augenzwinkern

ich meinte man kann auch leicht allgemein nachrechnen, dass $\begin{eqnarray*} x\cdot y = \overline{y\cdot x} \end{eqnarray*}$ (für beliebige x,y).
lg

20.01.2013, 16:31

baba2k

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Achso, das haben wir schon in der Vorlesung gemacht smile

Danke!

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