Beweisverfahren - Theorie

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Kuhnert Auf diesen Beitrag antworten »
Beweisverfahren - Theorie
Big Laugh Hi,
werde kurzum mal mein Problem beschreiben: Ich bin jetzt in der 13. Klasse und habe nach dem Abi vor, etwas in Richtung Mathematik zu studieren. Zur Vorbereitung habe ich mir mal einige Studienbücher angeguckt und auch schon einige Skripten gelesen. Nun zu meinem Anliegen:
Ich verstehe einfach nicht, wie die Beweise an der Uni angegangen werden. Als Beispiel nehme ich mal das Buch "Einführung in die lineare Algebra" von Rolf Walter. Er definiert dort n-Tupel und deren Rechenregeln und beweist anhand dessen, dass dafür Assoziativgesetz etc. gelten. Läuft dieses Schema allgemein so ab, dass ich erst eine Operation definiere und anhand dieser zeige, dass bestimmte Gesetze erfüllt sind?

Dann lese ich in einem anderen Buch, dass Behauptungen nur aus den Axiomen(Körperaxiomen etc..) hergeleitet werden dürfen und es eines Beweises bedarf... Ich vermute zwar, dass die "Definitionen", die mir in den Büchern begegnen "diese" Axiome sind, aber ich bin mir da nicht sicher.

Vielleicht könnte mir noch evt. jemand einen guten Buchtip geben, damit ich an der Uni nicht völlig "abkacke" Big Laugh
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Verschoben

Das Schema an der Uni ist wie folgt: Definition - Satz - Beweis. Manchmal kommt dann noch ein Beispiel hinterher Augenzwinkern

Die Axiome bilden sozusagen die Grundlage - darauf baut man alles auf. Es gibt einige Bücher mit dem Titel "Vorkurs", die sollen den Wechsel von der Schulmathematik zur universitären Mathematik erleichtern. Ansonsten kann ich dir noch Analysis 1 von H. Heuser empfehlen (die Analysis ist (zunächst) viel weniger abstrakt als die Lineare Algebra und daher für viele Studienanfänger leichter zu verstehen).


Gruß, therisen
Kuhnert Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schonmal für die Antwort. Werde mir das Buch bei Gelegenheit mal angucken. Aber vorher wollte ich mir das "Verfahren" nochmal an einem Beispiel klarmachen Big Laugh
Ich nehme jetzt z.B. einen Satz über das Skalarprodukt:
(S.1) <u, v+v'> = <u,v>+<u,v>

In folgendem wird dann u.a. bewiesen, dass beides das Gleiche ist. Nur woher wird das gefolgert? Es ist einzig und allein diese Definiton gegeben:

<u,v> := u(1)*v(1) + ... + u(n)*v(n) (In Klammern sind Indizes).
Wer sagt mir jetzt, dass ich in dem Satz (S.1), nach einer einzigen einzigen Definiton, beliebig Klammern, das Distributivgesetz anwenden etc. darf? Oder folgt das alles aus den Rechenregeln für die reelen Zahlen?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist aber eine sehr spezielle Definition Big Laugh Naja, die Beweise benutzen immer Definitionen/Aussagen, die man vorher schon mal eingeführt/bewiesen hat. Und in diesem Fall benutzt man einfach die Rechenregeln für reelle Zahlen (etwas anderes bleibt einem gar nicht übrig) Augenzwinkern
swerbe Auf diesen Beitrag antworten »

Häufig ist es einfach so, dass einem eine Definition gegeben wird, soz. eine elementare Wahrheit (für ein tiefer Verständnis zwi. Axiomen, Def. und Sätze Google mal nach Bertrand Russell...).
Mit dieser Definition (und vielleicht schon vorher gegebenen Def. und/oder bewiesenen Sätzen) "experimentiert" man rum bzw. versucht etwas "abzuleiten". Hat man dann etwas "neues" aus dieser/diesen Definitionen "gefunden" (eine "Rechenregel" oder etwas ähnliches) gilt es nun dieses zu beweisen, d.h. zu zeigen, dass dies so ist und nicht anders.
Ist es nicht beweisbar, so liefen die "Vorexperimente" ins leere, ansonsten ist eine neues Theorem geboren...
Menelaos Auf diesen Beitrag antworten »

Theoretisch kann man ALLES so beweisen: Man schreibe die Axiome seiner Theorie in eine formale Sprache und zusätzlich die Vorraussetzung des Satzes in derselben Sprache auf. Anschließend zeigt man, dass sich die Vorraussetzung Schritt für Schritt nach den Regeln der Logik umwandeln läßt, bis man bei der Schlussfolgerung ankommt. Das macht natürlich keiner, es reicht ja zu wissen, dass man es könnte, wenn man wollte. Allerdings verdeutlicht dies die Banalität vieler Beweise, so zum Beispiel wenn man das Distributivgesetz der Mengenlehre beweisen möchte:



Wie man nun vor geht? Wie gesagt, einfach die Vorraussetzung, in diesem Fall die linke Seite der Gleichung aussagenlogisch übersetzen und daraus die Schlussfolgerung sprich die rechte Seite herleiten.

(Zwischenschritte jetzt mal weggelassen)



Fertig. Das bezeichnet man gemeinhin als Beweis, was in diesem Fall nichts anderes ist, als das Zurückführen der Behauptung auf das niedere Fundament der Logik. Wenn wir also glauben etwas bewiesen zu haben, dann heißt das lediglich, dass es für die entsprechenden Axiome ein Modell gibt, aus dem sich ein formaler Widerspruch nicht herleiten lässt.
 
 
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