Zeige: 15x^3+9x^2-3x-1 irreduzibel in Q[x]

Neue Frage »

Alaster Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige: 15x^3+9x^2-3x-1 irreduzibel in Q[x]
Hi, ich habe eine Frage. Ich will zeigen, dass das Polynom



in irreduzibel ist. Ich hätte keine Probleme, wenn ich den Satz von der rationalen Nullstelle (Gauß) verwenden dürfte. Nur den hatten wir leider noch nicht.

Ich hatte sonst noch die Idee, eine Nullstelle anzunehmen, die einzusetzen und dann die Gleichung zu einem Widerspruch zu führen, habe ich aber nicht geschafft.

Kann mir jemand weiterhelfen?

LG.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeige: 15x^3+9x^2-3x-1 irreduzibel in Q[x]
Hallo Alaster,

Die meisten Koeffizienten des Polynoms sind durch 3 teilbar – das sollte schon mal ins Auge fallen.

Nun kannst Du einfach eine rationale Nullstelle annehmen, mit dem Nenner durchmultiplizieren und das ganze dann modulo 3 (bzw. Potenzen von 3) betrachten.

Gruß
Reksilat
 
 
Alaster Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich versuch das mal.

Sei mit und eine Nullstelle des obigen Polynoms. Außerdem seien a und b teilerfremd. Dann gilt offenbar

,

also

.

Eine Reduktion modulo 3 bringt uns , d.h. 3 teilt . Also gibt es eine ganze Zahl , so dass .

Aber wie soll ich weitermachen? Ich sehe noch keinen Widerspruch.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

b ist eine ganze Zahl. Wenn b³ von 3 geteilt wird, so auch b.
Alaster Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann wird auch b von 3 geteilt, d.h. ich kann stattdessen auch folgern, dass eine ganze Zahl x existiert, so dass .

Wir haben ja noch nicht benutzt, dass a und b nach Voraussetzung teilerfremd sind. Muss ich nun Bezout-Koeffizienten nutzen, um einen Widerspruch zu erhalten? Scheint mir aber nicht der richtige Ansatz zu sein.

Sorry, ich steh immer noch auf dem Schlauch...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Setz doch einfach mal das erkannte ein, dann wird

Zitat:
Original von Alaster
Wir haben ja noch nicht benutzt, dass a und b nach Voraussetzung teilerfremd sind.

unmittelbar wirksam bei der Erzielung eines Widerspruchs.
Alaster Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du Einsetzen in die Polynomgleichung? Oder ist es noch einfacher? Hammer
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine natürlich hier

Zitat:
Original von Alaster
.

einsetzen - wo sonst?
Alaster Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, das hab ich gemacht. Also:

,

also

,

äquivalent zu

.

Und wo finde ich nun den Widerspruch?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Alaster
Okay, das hab ich gemacht. Also:

,

also

,

Nein, , oder umgeschrieben

,

ich hab mal nur soviel ausgeklammert, wie nötig ist, um dir die Augen (hoffentlich) zu öffnen.
Alaster Auf diesen Beitrag antworten »

Oh mist, aus Flüchtigkeit auch noch 'nen Rechenfehler gemacht. Hammer

Aus deiner letzten Zeile folgt dann ja, 3 teilt , da 5 nicht durch 3 geteilt wird also weiter und da a eine ganze Zahl ist auch . Da auch gilt nach Annahme, ist dies ein Widerspruch zur Teilerfremdheit von a und b.

Stimmt es nun?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Freude
Alaster Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen lieben Dank, hab mich damit echt schwer getan. -.-
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »