Zeige: 15x^3+9x^2-3x-1 irreduzibel in Q[x]

20.01.2013, 20:31

Alaster

Zeige: 15x^3+9x^2-3x-1 irreduzibel in Q[x]

Hi, ich habe eine Frage. Ich will zeigen, dass das Polynom

$\begin{eqnarray*} 15x^3+9x^2-3x-1 \in \mathbb Q[x] \end{eqnarray*}$

in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[x] \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist. Ich hätte keine Probleme, wenn ich den Satz von der rationalen Nullstelle (Gauß) verwenden dürfte. Nur den hatten wir leider noch nicht.

Ich hatte sonst noch die Idee, eine Nullstelle anzunehmen, die einzusetzen und dann die Gleichung zu einem Widerspruch zu führen, habe ich aber nicht geschafft.

Kann mir jemand weiterhelfen?

LG.

21.01.2013, 09:37

Reksilat

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RE: Zeige: 15x^3+9x^2-3x-1 irreduzibel in Q[x]
Hallo Alaster,

Die meisten Koeffizienten des Polynoms sind durch 3 teilbar – das sollte schon mal ins Auge fallen.

Nun kannst Du einfach eine rationale Nullstelle annehmen, mit dem Nenner durchmultiplizieren und das ganze dann modulo 3 (bzw. Potenzen von 3) betrachten.

Gruß
Reksilat

21.01.2013, 16:09

Alaster

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Okay, ich versuch das mal.

Sei $\begin{eqnarray*} r = \frac{a}{b} \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a, b \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \ne 0 \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle des obigen Polynoms. Außerdem seien a und b teilerfremd. Dann gilt offenbar

$\begin{eqnarray*} 15\frac{a^3}{b^3} + 9\frac{a^2}{b^2} - 3\frac{a}{b} - 1 = 0 \end{eqnarray*}$ ,

also

$\begin{eqnarray*} 15a^3 + 9a^2b - 3ab^2 = b^3 \end{eqnarray*}$ .

Eine Reduktion modulo 3 bringt uns $\begin{eqnarray*} b^3 \equiv 0 \bmod 3 \end{eqnarray*}$ , d.h. 3 teilt b³. Also gibt es eine ganze Zahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} 3x = b^3 \end{eqnarray*}$ .

Aber wie soll ich weitermachen? Ich sehe noch keinen Widerspruch.

21.01.2013, 16:24

Reksilat

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b ist eine ganze Zahl. Wenn b³ von 3 geteilt wird, so auch b.

21.01.2013, 17:00

Alaster

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Okay, dann wird auch b von 3 geteilt, d.h. ich kann stattdessen auch folgern, dass eine ganze Zahl x existiert, so dass $\begin{eqnarray*} 3x = b \end{eqnarray*}$ .

Wir haben ja noch nicht benutzt, dass a und b nach Voraussetzung teilerfremd sind. Muss ich nun Bezout-Koeffizienten nutzen, um einen Widerspruch zu erhalten? Scheint mir aber nicht der richtige Ansatz zu sein.

Sorry, ich steh immer noch auf dem Schlauch...

21.01.2013, 17:14

HAL 9000

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Setz doch einfach mal das erkannte $\begin{eqnarray*} b=3x \end{eqnarray*}$ ein, dann wird

Zitat:

Original von Alaster
Wir haben ja noch nicht benutzt, dass a und b nach Voraussetzung teilerfremd sind.

unmittelbar wirksam bei der Erzielung eines Widerspruchs.

21.01.2013, 17:39

Alaster

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Meinst du Einsetzen in die Polynomgleichung? Oder ist es noch einfacher? Hammer

21.01.2013, 18:41

HAL 9000

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Ich meine natürlich hier

Zitat:

Original von Alaster
$\begin{eqnarray*} 15a^3 + 9a^2b - 3ab^2 = b^3 \end{eqnarray*}$ .

einsetzen - wo sonst?

21.01.2013, 19:07

Alaster

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Okay, das hab ich gemacht. Also:

$\begin{eqnarray*} 15a^3 + 9a^2 \cdot 3x - 3a \cdot (3x)^2 = (3x)^3 \end{eqnarray*}$ ,

also

$\begin{eqnarray*} 5a^3 + 9a^2 - 9ax^2 = 9x^3 \end{eqnarray*}$ ,

äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} a^2(5a + 9) = 9x^2(x + a) \end{eqnarray*}$ .

Und wo finde ich nun den Widerspruch?

21.01.2013, 19:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von Alaster
Okay, das hab ich gemacht. Also:

$\begin{eqnarray*} 15a^3 + 9a^2 \cdot 3x - 3a \cdot (3x)^2 = (3x)^3 \end{eqnarray*}$ ,

also

$\begin{eqnarray*} 5a^3 + 9a^2 - 9ax^2 = 9x^3 \end{eqnarray*}$ ,

Nein, $\begin{eqnarray*} 5a^3 + 9a^2x - 9ax^2 = 9x^3 \end{eqnarray*}$ , oder umgeschrieben

$\begin{eqnarray*} 5a^3 = 9x^3+9ax^2-9a^2x = 3(3x^3+3ax^2-3a^2x) \end{eqnarray*}$ ,

ich hab mal nur soviel ausgeklammert, wie nötig ist, um dir die Augen (hoffentlich) zu öffnen.

21.01.2013, 19:31

Alaster

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Oh mist, aus Flüchtigkeit auch noch 'nen Rechenfehler gemacht. Hammer

Aus deiner letzten Zeile folgt dann ja, 3 teilt $\begin{eqnarray*} 5a^2 \end{eqnarray*}$ , da 5 nicht durch 3 geteilt wird also weiter $\begin{eqnarray*} 3 \mid a^3 \end{eqnarray*}$ und da a eine ganze Zahl ist auch $\begin{eqnarray*} 3 \mid a \end{eqnarray*}$ . Da auch $\begin{eqnarray*} 3 \mid b \end{eqnarray*}$ gilt nach Annahme, ist dies ein Widerspruch zur Teilerfremdheit von a und b.

Stimmt es nun?

21.01.2013, 19:31

HAL 9000

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Ja.

21.01.2013, 19:32

Alaster

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Vielen lieben Dank, hab mich damit echt schwer getan. -.-

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