Konvergenz reihe

20.01.2013, 22:39

xy12

Konvergenz reihe

Meine Frage:
Hallo ich stecke gerade bei einer Aufgabe fest:

Überprüfen sie ob die folgende Reihe konvergent sind:

Wie gehe ich hier vor?

Meine Ideen:
keine

20.01.2013, 22:40

Che Netzer

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RE: Konvergenz reihe
Du kannst hier das Minorantenkriterium benutzen.

20.01.2013, 22:49

xy12

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Wäre diese minorante in Ordnung?

20.01.2013, 22:52

Che Netzer

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Wie bist du denn auf diese Abschätzung gekommen?

Jedenfalls willst du die Summanden nach oben abschätzen, das führt aber nicht zu einer Minorante.

20.01.2013, 22:54

xy12

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Dann muss ich etwas kleineres suchen oder ?

20.01.2013, 22:54

Che Netzer

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Ja, genau. Dann versuch das mal.

20.01.2013, 22:56

xy12

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Wäre es s ok jetzt?

20.01.2013, 23:04

Che Netzer

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Damit hättest du eine konvergente Minorante, das bringt dir überhaupt nichts.
Du brauchst eine divergente Minorante; dabei hilft dir vielleicht
$\begin{eqnarray*} \frac{2n+1}{n^2-4n-1}=\frac1n\frac{2n+1}{n-4-\frac1n}\,. \end{eqnarray*}$

20.01.2013, 23:12

xy12

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Kann ich einfach 1n^2 * 2n+1/n nehmen?

20.01.2013, 23:15

Che Netzer

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Du hast doch gerade eben fast dasselbe vorgeschlagen Augenzwinkern

Nein, versuche lieber, nach unten gegen $\begin{eqnarray*} \frac1n \end{eqnarray*}$ mit Vorfaktor abzuschätzen.

20.01.2013, 23:26

xy12

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Kann ich 1/2n^3 nehmen ?

Oder soll das 1/ n bleiben?

21.01.2013, 08:45

xy12

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Ist es richtig oder,liege ich wieder falsch?

21.01.2013, 11:45

Che Netzer

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Zitat:

Original von Che Netzer
Nein, versuche lieber, nach unten gegen $\begin{eqnarray*} \frac1n \end{eqnarray*}$ mit Vorfaktor abzuschätzen.

Etwas mit $\begin{eqnarray*} n^3 \end{eqnarray*}$ funktioniert nicht.
Sieh dir mal die Darstellung
$\begin{eqnarray*} \frac{2n+1}{n^2-4n-1}=\frac1n\frac{2n+1}{n-4-\frac1n} \end{eqnarray*}$
an. Kannst du da den rechten Bruch nach unten gegen eine positive Konstante abschätzen?

21.01.2013, 12:04

Xy12

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Meinst du das ich von den Bruch an der rechten Seite den Grenzwert berechnen soll?

21.01.2013, 12:05

Che Netzer

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Das wäre der nächste Schritt beim Durchrechnen, ja.

21.01.2013, 12:10

xy12

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Kommt da nicht -1/2 raus?

21.01.2013, 12:13

Che Netzer

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Wie hast du denn gerechnet?

21.01.2013, 12:14

xy12

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Tschuldigung müsste 2/3 rauskommen oder?

21.01.2013, 12:16

Che Netzer

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Nochmal: Wie hast du denn gerechnet?

(das heißt auch Nein zum neuen Ergebnis)

21.01.2013, 12:19

Xy12

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Ich hab den ganz rechten Zähler jeweils durch n geteilt. Oder ist das falsch?

21.01.2013, 12:22

Che Netzer

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Du meinst, du hast gekürzt? Dann musst du aber Zähler und Nenner durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ teilen
$\begin{eqnarray*} \frac{2n+1}{n-4-\frac1n}=\dotso\to\dotso \end{eqnarray*}$

21.01.2013, 12:56

xy12

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Jetzt habe ich es glaub ich . Kommt 2 raus?

21.01.2013, 12:59

Che Netzer

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Ja, genau.
Dieser Bruch ist also konvergent. Welche Eigenschaften einer konvergenten Folge könnte man denn sinnvollerweise benutzen, wenn man Schranken sucht?

21.01.2013, 13:10

Xy12

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Oh man dass weiß ich nicht. Kannst du mir noch einen kleinen Tipp geben?

21.01.2013, 13:12

Che Netzer

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Ihr hattet doch sicher einen Satz über konvergente Folgen, der etwas mit oberen/unteren Schranken zu tun hatte. Fällt dir keiner ein?

21.01.2013, 13:14

Xy12

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Die obere Schranke wäre doch 2 oder?

21.01.2013, 13:19

Che Netzer

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Nein, das wäre der Grenzwert.
Wichtig ist aber, dass es eine untere Schranke $\begin{eqnarray*} C>0 \end{eqnarray*}$ für fast alle Folgenglieder gibt. (was bedeutet es, dass $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ untere Schranke ist?)
Jezt kannst du damit die Reihe abschätzen.

21.01.2013, 13:22

Xy12

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Das bedeutet das die Reihe konvergiert oder ?

21.01.2013, 13:24

Che Netzer

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Wieso tut sie das denn?

21.01.2013, 13:49

xy12

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Weils sie eine untere Schranke hat?

21.01.2013, 13:51

Che Netzer

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Welche denn? Und kannst du deren Herleitung selbst wiedergeben?

21.01.2013, 13:58

xy12

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Ich hätte gedacht es wäre die 2 aber welche soll es dann sein?

21.01.2013, 14:18

Che Netzer

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Zunächst einmal: Was möchtest du abschätzen? Gleich die gesamte Reihe oder den Faktor neben $\begin{eqnarray*} \frac1n \end{eqnarray*}$ ?

21.01.2013, 14:30

xy12

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Ich dachte die gesamte reihe oder?

21.01.2013, 14:32

Che Netzer

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Dazu brauchst du die Abschätzung
$\begin{eqnarray*} \frac1n\frac{2n+1}{n-4-\frac1n}\geq\frac1n\cdot C \end{eqnarray*}$
für ein $\begin{eqnarray*} C>0 \end{eqnarray*}$ .
Hast du verstanden, woher dieses $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ kommt?

21.01.2013, 15:22

xy12

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Ehrlich gesagt habe ich es nicht verstanden.

Ist dieses C jetzt die 2 ?

21.01.2013, 15:25

Che Netzer

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Nein, immer noch nicht.
Diese Schranke $\begin{eqnarray*} C>0 \end{eqnarray*}$ existiert, weil $\begin{eqnarray*} \frac{2n+1}{n-4-\frac1n} \end{eqnarray*}$ nach unten durch eine positive Konstante (eine davon bezeichnen wir als $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ) beschränkt ist, da dieser Ausdruck gegen eine positive Zahl konvergiert (diese ist Zwei).

21.01.2013, 15:27

xy12

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Aha ok jetzt habe ich es verstanden.

Aber was muss ich jetzt genau als nächstes machen?

21.01.2013, 15:30

Che Netzer

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Du weißt jetzt also, dass du
$\begin{eqnarray*} \frac{2n+1}{n^2-4n-1}=\frac1n\frac{2n+1}{n-4-\frac1n} \end{eqnarray*}$
nach unten durch $\begin{eqnarray*} \frac Cn \end{eqnarray*}$ abschätzen kannst.
Dann tu das mal, um eine Minorante für die gegebene Reihe zu finden. Danach überlege, ob diese auch tatsächlich divergiert.

21.01.2013, 15:36

xy12

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Aber ich verstehe nicht wie die aussehen soll.

Soll ich die harmonische reihe 1/n^2 oder was genau .

Meine idee wäre einfach 1/n^3 aber das scheint ja auch irgendwie falsch.

Wie finde ich die?

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