Konvexität/Konkavität bestimmen

21.01.2013, 17:52

Barney#

Konvexität/Konkavität bestimmen

Meine Frage:
f(x,y) = x²+y²-3xy-x^4 - y^4

Aufgabe: Bestimmen ob folgende Funktionen konvex oder konkav auf dem gesamten Definitionsbereich sind. Überprüfen ob streng Konvex/Konkav.

Meine Ideen:
Ich komme nicht weiter unglücklich

habe erstmal die Funktion zusammengefasst zu:

-3xy-x²-y² und dann den grad ausgerechnet. Dann die Hessematrix mit den Werten -2 -3 und -3 -2. Leider ist das ja indefinit. Ich befürchte allerdings, dass das nicht die Antwort ist oder ? unglücklich

21.01.2013, 21:10

Barney..

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keiner eine Idee ? unglücklich

21.01.2013, 21:43

Mystic

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RE: Konvexität/Konkavität bestimmen

Zitat:

Original von Barney#
habe erstmal die Funktion zusammengefasst zu:

-3xy-x²-y²

Was meinst du mit "zusammengefasst"?

Zitat:

Original von Barney#
[...] und dann den grad ausgerechnet.

Warum zeigst du diese Rechnung nicht her? verwirrt

Zitat:

Original von Barney#
Dann die Hessematrix [...]

Nochmals, bitte zeige diese Rechnungen auch her, sonst können wir hier das ja nicht kontrollieren...

Zitat:

Original von Barney#
mit den Werten -2 -3 und -3 -2.

Wie kommst du auf diese Werte?

Zitat:

Original von Barney#
Leider ist das ja indefinit. Ich befürchte allerdings, dass das nicht die Antwort ist oder ? unglücklich

Kann ich nicht sagen, da ich deine Rechnungen dazu wieder nicht sehe... unglücklich

Was ist übrigens der Definitionsbereich der Funktion? verwirrt

21.01.2013, 21:51

Barney**

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also wie gesagt da steht nur "untersuche die Funktion auf dem gesamten Definitionsbereich"
Zusammengefasst indem ich die x' mit den y verrechnet habe.

dann nach x abgeleitet: -3y-2x
nach y abgeleitet: -3x-2y

und für die HesseMatrix nochmal
nach x: -2
nach y: -2
fxy=fyx = -3

Damit hätte ich meine Hesse Matrix. Stimmt das soweit?

21.01.2013, 22:13

Mystic

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Zitat:

Original von Barney**
also wie gesagt da steht nur "untersuche die Funktion auf dem gesamten Definitionsbereich"

Ja, aber wie soll gehen, wenn der Definitionsbereich gar nicht angegeben ist???

Zitat:

Original von Barney**
Zusammengefasst indem ich die x' mit den y verrechnet habe.

Daraus werde ich nicht schlau? Was meinst du genau damit? verwirrt

Zitat:

Original von Barney**
dann nach x abgeleitet: -3y-2x

Also ich erhalte da z.B:

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial f}{\partial x}=\underbrace{\frac {\partial}{\partial x} (x^2)}_{=2x}+\underbrace{\frac {\partial}{\partial x} (y^2)}_{=0}-\underbrace{\frac {\partial}{\partial x} (3xy)}_{=3y}-\underbrace{\frac {\partial}{\partial x} (x^4)}_{=4x^3}-\underbrace{\frac {\partial}{\partial x} (y^4)}_{=0}=2x-3y-4x^3 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Barney**
nach y abgeleitet: -3x-2y

Ähnlich daneben und damit natürlich auch der Rest... unglücklich

21.01.2013, 22:20

barney!

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Also so stehts in der Aufgabe unglücklich

IR²-> IR das könnte ich dir noch anbieten.

Deine Ableitung hatte ich auch zunächst aber dann habe ich mir gedacht, die x² kann ich doch sofort Minus die x^4 rechnen, aber wo ich das grade hier so aufschreibe, merk ich selbst wie blöd das war.

Dann hatte ich für
fxx= 2-12x²
fyy= 2-12y²
fxy=fyx = 3

21.01.2013, 22:27

Mystic

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Zitat:

Original von barney!
Also so stehts in der Aufgabe unglücklich

IR²-> IR das könnte ich dir noch anbieten.

Und das hast du bisher unterschlagen trotz mehrmaliger Nachfrage? geschockt

Ist dir denn nicht klar, dass dies bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ der Definitionsbereich ist? Diese Information ist extrem wichtig, denn es könnte ja auch z.B. [-1,1]² der Definitionsbereich sein und das würde alles ändern...

Zitat:

Original von barney!
Dann hatte ich für
fxx= 2-12x²
fyy= 2-12y²
fxy=fyx = 3

Hier stimmen die letzten zwei Ableitungen fxy und fyx leider wieder nicht... unglücklich

21.01.2013, 22:32

barney~

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Ich verstehe das mit IR² und IR leider gar nicht unglücklich

IR²-> IR was bedeutet denn da das IR ?

fxy muss natürlich -3 sein

21.01.2013, 22:36

Mystic

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$\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass die Abbildung f jedem Punkt $\begin{eqnarray*} (x,y) \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ (also jedem Punkt der x-y-Ebene) eine weitere reelle Zahl zuordnet, welche mit f(x,y) bezeichnet und der Funktionswert genannt wird...

21.01.2013, 22:40

Baarney

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oke, klar ist es leider immernoch nicht ganz, aber komme ich mit meiner Hessematrix jetzt weiter?
Stimmt das überhaupt alles soweit?

21.01.2013, 22:42

Mystic

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Ja, die Hessematrix H ist hier

$\begin{eqnarray*} H=\begin{pmatrix}2(1-6x^2) &-3\\-3 &2(1-6y^2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und hängt somit von x und y ab...

21.01.2013, 22:44

Barney?

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aber die Definitheit kann ich ja so nicht bestimmen oder?
Die Determinante kann ich ja nicht herausfinden unglücklich

21.01.2013, 22:48

Mystic

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Hm, was genau hindert dich denn daran, die Determinante zu berechnen? verwirrt

21.01.2013, 22:59

barneü6

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2(1-6x²) * 2(1-6y²) unglücklich

21.01.2013, 23:06

Mystic

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Leider schon wieder falsch... unglücklich

Richtig wäre:

$\begin{eqnarray*} |H|= 4(6x²-1)(6y²-1)-9 \end{eqnarray*}$

22.01.2013, 10:37

Barney+

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Ja das weiß ich, ich wollte nur zeigen, was mir so schwer fällt zu berechnen. Bis jetzt hatte ich nämlich immer nur HesseMatritzen mit Zahlen und ohne Variable

22.01.2013, 13:18

Mystic

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RE: Konvexität/Konkavität bestimmen
Und, wie siehst nun aus mit

Zitat:

Original von Barney#
Aufgabe: Bestimmen ob folgende Funktionen konvex oder konkav auf dem gesamten Definitionsbereich sind. Überprüfen ob streng Konvex/Konkav.

22.01.2013, 13:22

Barney*

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Ja dafür würde ich jetzt ausrechnen wollen:
|2-12x²| = ?
und die Determinante der Hessematrix.
Und dann dann würde ich sehen ob es z.B. beides größer 0 ist, das wäre dann ein Minimum, also wäre es dann konkav.
Bin ich da auf dem richtigen Weg?

22.01.2013, 13:42

Barneyg

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Ich habe mal bemerkt, dass die zweite Ableitung immer kleiner 0 ist, egal was ich für x oder y einsetzte. Heißt das die funktion ist konkav?

22.01.2013, 14:10

Mystic

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Du meinst 2(1-x²) ist stets negativ, auch z.B. für x=0 oder "kleine" Werte von x? geschockt

Und die Determinante interessiert dich überhaupt nicht, d.h., ob die Funktion konkav/konvex ist, hängt deiner Meinung nach nur von $\begin{eqnarray*} f_{xx} \end{eqnarray*}$ ab? traurig

22.01.2013, 14:33

Barney8

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Nein, ich nehme ja die Determinante von fxx und schaue ob sie größer oder kleiner 0 ist. Und dann nehm ich die Determinante von der gesamten Hess und schaue ob sie größer oder kleiner 0 ist, richtig?

22.01.2013, 14:51

Mystic

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Hm, oben klang das noch anders nämlich, so:

Zitat:

Original von Barneyg
Ich habe mal bemerkt, dass die zweite Ableitung immer kleiner 0 ist, egal was ich für x oder y einsetzte. Heißt das die funktion ist konkav?

Da war von der Determinante überhaupt nicht die Rede... geschockt

22.01.2013, 15:01

Barney_

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Ja aber einen Beitrag dadrüber habe ich das mit den Determinanten lösen wollen!
Leider weiß ich jetzt nicht was richtig ist.
Denn im Skript steht noch der Satz f''(x) > 0, dann ist f streng konvex

22.01.2013, 15:26

Mystic

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Du brauchst eben beide Bedingungen, eine allein genügt nicht... Und wie schon gesagt, hat $\begin{eqnarray*} f_{xx} \end{eqnarray*}$ kein einheitliches Vorzeichen, was die Sache bereits erledigt...

Was anderes wäre, wenn der Definitionsbereich kleiner wäre, z.B. irgendein Quadrat mit Seitenlänge 1... Dann wäre die Funktion darin fast sicher konkav... Darum habe ich zu Beginn auch so insistiert auf die Angabe des Definitionsbereichs...

22.01.2013, 15:53

Baarney.

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[quote]Original von Mystic
Du brauchst eben beide Bedingungen, eine allein genügt nicht... Und wie schon gesagt, hat $\begin{eqnarray*} f_{xx} \end{eqnarray*}$ kein einheitliches Vorzeichen, was die Sache bereits erledigt...

Wie meinst du das? Es muss doch eine Lösung geben ? :O

22.01.2013, 16:15

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Barney_

Denn im Skript steht noch der Satz f''(x) > 0, dann ist f streng konvex

Vielleicht ist dein Problem, dass im Skript nur der Fall von Funktionen $\begin{align*} \mathbb R \to\mathbb R \end{align*}$ betrachtet wird. Hier handelt es sich aber um eine Funktion $\begin{align*} \mathbb{R}^2 \to\mathbb R \end{align*}$ . Deswegen kommt Hesse und seine Determinante ins Spiel.

22.01.2013, 16:24

Mystic

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Wenn der Defintionsbereich wirklich die ganze x-y-Ebene ist, dann ist hier dieAnwort, dass die Funktion weder konvex noch konkav ist...

22.01.2013, 16:32

Baaarney

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aber wie kann ich das begründen? Damit, dass für x,y > 0 die Determinanten von der Hesse beide Male negativ sind?

22.01.2013, 17:51

RavenOnJ

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Kennst du überhaupt den Zusammenhang der Hesse-M. mit der Frage, ob die Funktion (streng) konvex oder (streng) konkav ist? Ich habe nicht den Eindruck. Lies mal dazu hier, ganz unten.

22.01.2013, 19:33

Barneyy

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das hab ich auch die ganze Zeit geschrieben, nur muss ich doch um Definitheit ausrechnen zu können auch die Determinante der Hessematrix bestimmen oder?
Und wie kann ich das machen, wenn ich in der Hessematrix ein x und ein y multiplizieren muss?

22.01.2013, 21:22

Mystic

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Wir haben doch schon festgestellt, dass fxx kein einheitliches Vorzeichen hat, d.h., die Funktion kann weder konkav noch konvex sein...Was ist daran noch unklar?

22.01.2013, 21:28

barney!

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Na mir ist noch unklar, was genau die Antwort ist.
Also weil fxx sowohl < als auch > sein könnte, ist die Funktion weder konvex noch konkav. Ende?

22.01.2013, 21:29

Che Netzer

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Ohne abzuleiten könnte man auch zeigen, dass schon $\begin{eqnarray*} f(\cdot,0) \end{eqnarray*}$ mit genau drei verschiedenen Nullstellen weder konvex noch konkav sein.

22.01.2013, 22:05

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von barney!
Na mir ist noch unklar, was genau die Antwort ist.
Also weil fxx sowohl < als auch > sein könnte, ist die Funktion weder konvex noch konkav. Ende?

Genau das hab ich oben gesagt.

Was anderes wäre es , wenn der Definitionsbereich nicht die ganze x-y-Ebene wäre, um das nun schon zum x-ten Male zu wiederholen... Diese Funktion ist nämlich fast überall konkav aber nur "in der Nähe" von (0,0) nicht... In (0,0) hat sie nämlich einen Sattelpunkt, denn der Gradient ist dort 0 und die Determinante der Hessematrix ist dort negativ...

23.01.2013, 12:23

Barneyyy

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Und wenn ich jetzt konvex/konkav bzw. streng konvex/konkav in einem bestimmten Punkt bestimmen muss?
z.B. in eben (0|0)
Muss ich einfach in f einsetzten?

23.01.2013, 12:42

Mystic

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Zitat:

Original von Barneyyy
Und wenn ich jetzt konvex/konkav bzw. streng konvex/konkav in einem bestimmten Punkt bestimmen muss?
z.B. in eben (0|0)

Konvex/konkav für einen Punkt macht keinen Sinn, konvex/konkav für eine "Umgebung" des Punktes schon eher, und das ist es ja auch gerade, was man für die Klassifikation von stationären Punkten nach Maximum/Minimum/Sattelpunkt braucht...

Zitat:

Original von Barneyyy
Muss ich einfach in f einsetzten?

Ich hoffe, das war jetzt nur ein Schreibfehler... Finger1

23.01.2013, 12:52

Bbarney

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Also die Aufgabe lautet: Untersuchen Sie, ob die angegebenen Funktionen in den folgenden Punkten konvex/konkav oder streng konvex/konkav sind:
(0,0), (1,1), (1,118; 1,118)

in f'' einsetzten ?

23.01.2013, 15:37

Mystic

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Du gehst über deine Schnitzer hier mit einer Nonchalance hinweg, die man fast schon wieder bewundern muss... Oben hast du noch von Einsetzen in f gesprochen, jetzt ist ein f'' draus geworden, wobei mir nicht klar ist, was du darunter eigentlich verstehst...

Des weiteren kommst du jetzt mit einer ganz neuen Aufgabe daher, so als ob das die selbstverstaendlichste Sache der Welt wäre...

23.01.2013, 17:49

Barneey

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Hm wieso? Vor einigen Posts hab ich doch diese Frage schon gestellt und du hast auch schon darauf geantwortet?

Du sagst doch selbst, dass einsetzten f falsch sei. Dann halte ich doch nicht an der Vermutung fest sondern überlege mir etwas anderes.
Wenn das leider auch falsch ist, dann ist das eben so. Dafür bin ich hier um es vielleicht zu verstehen.

23.01.2013, 21:08

Mystic

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Du hast leider noch immer nicht gesagt, was für dich f'' ist... Wenn es, wie ich nach deiner Antwort vermute, $\begin{eqnarray*} f_{xx} \end{eqnarray*}$ sein soll, dann liegst du total daneben... geschockt

Manche Autoren verstehen aber, wenn x ein Vektor ist, unter f'(x) den Gradienten und unter f''(x) die Hessematrix... Bei dieser Interpretation wäre dann Einsetzen in f''(x) tatsächlich richtig, nur muss man dann anschließend überprüfen, ob die resultierende Matrix positiv definit/negativ definit/indefinit ist...

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