Unterraum und daraus irgendwie eine Orthonormalbasis bilden?

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baba2k Auf diesen Beitrag antworten »
Unterraum und daraus irgendwie eine Orthonormalbasis bilden?
Hallo zusammen,

ich bin bei einer Aufgabe etwas verwirrt:

Zeigen Sie, dass die Menge ein Unterraum des bildet und geben Sie eine Orthonormalbasis davon an.

Meine Ideen:
1. Mit den drei Bedingungen zeigen, dass es ein Unterraum ist:




Aber dann weiß ich nicht weiter? Was mir noch einfallen würde:

2. Eine Basis des Unterraums finden

3. Aus der Basis aus Punkt 2 eine Orthogonalbasis bilden

Aber so könnte man ja viele verschiedene Basen in Punk 2 finden, könnte das so richtig sein?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterraum und daraus irgendwie eine Orthonormalbasis bilden?
Zitat:
Original von baba2k
Aber so könnte man ja viele verschiedene Basen in Punk 2 finden, könnte das so richtig sein?

Ja, es gibt in der Regel unendlich viele Möglichkeiten, eine Orthonormalbasis zu wählen.
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, das heißt also, dass ich mit den drei Punkten die Aufgabe lösen kann? Dann werde ich das morgen mal versuchen.

Heute hab ich schon zu viel Mathe gemacht smile
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das hört sich vernünftig an.
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, vielen Dank! Ich werde morgen mal berichten, wie weit ich gekommen bin! smile
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

So ich nochmal

Punk 1 und Punk 2 hab ich fertig, habe also eine Basis gefunden.

Reicht es jetzt zu zeigen, dass
(stehen Senkrecht auf einander)
oder muss ich noch das E.Schmidt Orthonormalisierungsverfahren anwenden?

Vielen Dank!
 
 
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Vektoren bereits senkrecht zueinander stehen, brauchst du kein weiteres Verfahren anzuwenden. Du musst sie dann nur noch normieren.
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt wenn sie senkrecht auf einander stehen ist es eine Orthogonalbasis,
aber wie nummiere ich diese?

So?



Danke!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Normiere.
Die Idee sieht gut aus; die Gleichheit gilt aber nicht; links sollte etwas wie stehen.
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ja meine ich ja, wir machen das mit einer Schlange oben drüber, beim Orthogonalisierungsverfahren müssten wir ja nur ausrechnen, deswegen haben wir auf der rechten Seite die Schlange drüber. Aber in diesem Fall haben wir ja schon.

Okay ich habe das Skalarprodukt von und gerechnet, es kommt aber nicht 0 raus, also werde ich das Orthonormalisierungsverfahren anwenden.

Danke!
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mal versucht zwei Vektoren zu finden, die senkrecht aufeinander stehen, aber das scheint garnicht zu funktionieren, da irgendwie einer zwei Nullen haben müsste also z.B. und das kann ja irgendwie nicht in F liegen.
Aber es war ja auch nur mal ein Versuch smile
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso muss denn ein Vektor zwei Nullen haben? verwirrt
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

Mh, ich wenn das Skalarprodukt 0 ergeben soll, muss doch jeweils in Einer Zeile der beiden Vektoren eine 0 Vorkommen, oder nicht?

z.B.


Oder es muss sich irgendwie aufheben, aber sie müssen ja zusätzlich noch linear unabhängig sein,
also ist das garnicht so einfach,

Gibt es irgendwie einen Trick zwei Vekotren zu finden, die eine Basis bilden und senkrecht aufeinander stehen?

Vermutlich ist das mit der Orthonormalisierung noch das einfachste, oder?

Danke!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

In diesem Fall gibt es tatsächlich einen Trick.
Wenn du als schreibst, kannst du einen Normalenvektor anmelden. Dazu kannst du einen allgemeinen senkrechten Vektor bestimmen und einen weiteren bestimmst du, indem du das Kreuzprodukt der beiden Vektoren bildest.

Man kann aber auch direkt einen hübschen vektor aus dem Unterraum "erraten" und sich ausrechnen, wie ein dazu orthogonaler aussehen könnte.
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, vielen Dank!
Ich hab es jetzt mal mit dem Orthogornalisierungsverfahren gemacht,
da es so vermutlich gewollt war, das ist aber gut zu wissen.
3xodus Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,
also ich habe hier eine fast analoge Aufgabe, nur ne 4 anstatt der 3 bei x

Aber ich habe keinen Schimmer wie das geht bzw.wie du (baba2k) das gelöst hast...
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

Einfach die 3 Punkte aus meinem ersten Post abarbeiten, wo hängts denn?
3xodus Auf diesen Beitrag antworten »

Die Umsetzung, deine ersten 3 Punkte habe ich auch schon gehabt aber ich kann es einfach nicht umsetzen...
Vielleicht habe ich heute auch einfach schon zuviel gemacht
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, wo hängts denn? Hast du schon gezeigt, dass es ein Unterraum ist?
3xodus Auf diesen Beitrag antworten »

Wie forme ich das um?
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit umformen? Etwas ausführlichere Frage bitte smile ich weiss grad garnicht was du meinst.
3xodus Auf diesen Beitrag antworten »

Also gut ich versuche das mal anhand deines bsp.

1. nullvektor

3x-iy+z=0 ----> 3*0-i*0=0

und dann?

sry ich habe nen absoluten blackout
3xodus Auf diesen Beitrag antworten »

3*(x1+y1+z1)-i(x2+y2+z2)+(x3+y3+z3)
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo genau so hast du gezeigt, dass der Nullvektor in F liegt,

Die Addition stimmt so aber nicht, du hast ja drei Vekotren eingesetzt und dies
leider falsch.

So ist der Ansatz:




//EDIT: Unterraum habt ihr doch bestimmt schon durchgenommen, oder etwa nicht?
3xodus Auf diesen Beitrag antworten »

Untervektorräume haben wir noch nicht durchgenommen, Prof war krank und die Pflicht aufgaben müssen wir trotzdem machen...
Also alles selber erarbeiten...



ps: danke
3xodus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterraum und daraus irgendwie eine Orthonormalbasis bilden?
So das habe ich jetzt recht leicht lösen können, danke.
Dann versuch ich mich jetzt mal an der Orthonormalbasis
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

Super, hier der Ansatz:

Wenn du die Basis gefunden hast:





Deine Orthonormalbasis ist dann .
3xodus Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank... das hat geklappt!

2te von 10 aufgaben für diese Woche erledigt, yes

jetzt wird mir so langsam auch einiges klar.
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

Super, schön, dass ich auch mal helfen konnte, nicht nur immer fragen smile
Ja ich brauche ca. 3Tage die Woche für die Aufgaben von Lineare Algebra.
Ich erarbeite aber auch alle Aufgaben vor den Übungsstunden.
3xodus Auf diesen Beitrag antworten »

ja so arbeite ich Auch, nur wir haben lineare algebra und analysis zusammen. Müssen jede Woche jeweils 10 Aufgaben abgeben um übehaupt zugelassen zu werden, da bleiben die Ü-Aufgaben schon manchesmal auf der strecke....finde ich schade weil ich Mathe sehr gerne mag....
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

Dann habe ich es ja noch gut. Bei uns wurden die beiden Fächer vor einem Jahr getrennt.
Wir haben "nur" 5 Aufgaben wovon eine immer abzugeben ist.
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