Verschoben! Neutrales Element in Gruppe

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Sy Auf diesen Beitrag antworten »
Neutrales Element in Gruppe
Meine Frage:
Hallo:
Ich hänge an der Aufgabenstellung: Zeigen Sie, dass nur ein neutrales Element in einer Gruppe existiert.(Tipp: Annehmen, dass es 2 verschiedene gibt)
Wir habe eine Gruppe mit folgenden Eigenschaften definiert:
-Assoziativität gilt
-Inverse existiert
Leider habe ich keine Ideee wie ich anfangen soll, kann mir jemand starthilfe geben?



Meine Ideen:
Vielleicht mit einem Äquvivalenzbeweis?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Verfolge doch mal den Tipp weiter. Der führt auf einen Widerspruch.
Sy Auf diesen Beitrag antworten »

So ich habe folgende idee:
Annahme:
neutrales Element1=e1
neutrales Element2=e2

<-->e1*a=a
<-->e2*a=a

<-->e1*a= e2*a

<-->a*a^-1*a=e1
<--->a*a^-1*a=e2

<--->a^-1*a*a=a^-1*a*a
folglich ist e1=e2

aber das zählt doch nicht als Beweis oder?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sy
So ich habe folgende idee:
Annahme:
neutrales Element1=e1
neutrales Element2=e2

<-->e1*a=a
<-->e2*a=a

<-->e1*a= e2*a



das ist OK. Ab hier könntest du aber einfach schlussfolgern:



Widerspruch.
Sy Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Hilfe (:
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Uh,... oh,... da wird mit viel zu schweren Geschützen aufgefahren, wo man dann insbesondere die Assoziativität und Inverse dazu braucht, also alles, was eine Gruppe so zu bieten hat... Dabei gilt schon in einem Groupoid(!), dass bei Existenz eines linksneutralen Elements und eines rechtsneutralen Elements diese beiden übereinstimmen müssen, denn es ist ja

 
 
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

@Mystic

Da hast du zwar recht, ich finde das aber zu puristisch. Natürlich braucht man nicht alle Eigenschaften einer Gruppe, wie Existenz des Inversen und Assoziativität. Man kann auch ein Monoid zugrunde legen oder nur ein Gruppoid mit Eins, ohne Assoziativität und kommt zum selben Ergebnis.

Es soll sich jedoch hier ausdrücklich um eine Gruppe handeln. Also kann man meiner Meinung nach auch alle Mittel benutzen, die einem Gruppen zur Verfügung stellen, also Existenz des Inversen und Assoziativität. Zumal der Fragesteller mit Sicherheit noch nie von einem Gruppoid oder Monoid gehört hat, also dann erst recht nicht wüsste, wie er ganz puristisch und in größter Allgemeinheit den Beweis führen soll.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Zumal der Fragesteller mit Sicherheit noch nie von einem Gruppoid oder Monoid gehört hat, also dann erst recht nicht wüsste, wie er ganz puristisch und in größter Allgemeinheit den Beweis führen soll.

Die halbe Zeile von Mystic kann man aber auch ohne großes Vorwissen verstehen.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer

Die halbe Zeile von Mystic kann man aber auch ohne großes Vorwissen verstehen.


Die verstehst du, aber nicht jemand, der noch nie von einem "linksneutralen" oder "rechtsneutralen" Element gehört hat. Dann müssen nämlich erst mal wieder diese Begriffe geklärt werden und schon bist du bei weit mehr als einer Zeile.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich finde schon, das dies mehr ist als eine sophistische Haarspalterei... Denn zum einem wird der Beweis dadurch (noch) kürzer und einfacher, was auch aus didaktischer Sicht nicht unerheblich ist, zum anderen sieht man so auch, welche Voraussetzungen wirklich gebraucht werden, was ja auch eine wertvolle Einsicht ist... Augenzwinkern
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Braucht man auch gar nicht, statt kann man ein erstes neutrales Element und statt ein zweites neutrales Element wählen.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Braucht man auch gar nicht, statt kann man ein erstes neutrales Element und statt ein zweites neutrales Element wählen.


Dann setzt du aber voraus, dass , dass beide neutralen Elemente also mit allen anderen kommutieren. Ansonsten müsstest du die Unterscheidung links-/rechtsneutral machen. Und dann müsste man wohl noch zeigen, dass es nur ein links- und nur ein rechtsneutrales Element gibt.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

@Mystic
Das ist natürlich ein gutes Argument.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Dann setzt du aber voraus, dass

Ist das nicht die Definition eines neutralen Elements? verwirrt
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du nicht den Unterschied zwischen links- und rechtsneutral machst, dann ja.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Eben. Und genau darum (um neutrale Elemente einer Gruppe) geht es hier doch.

War doch vor kurzem dein Argument:
Zitat:
Die verstehst du, aber nicht jemand, der noch nie von einem "linksneutralen" oder "rechtsneutralen" Element gehört hat. Dann müssen nämlich erst mal wieder diese Begriffe geklärt werden und schon bist du bei weit mehr als einer Zeile.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

@RavenOnJ

Ich fürchte, Che Netzer hat 100% recht, und es wäre höchste Zeit (wenn nicht eigentlich schon viel zu spät!), das auch endlich einzugestehen... Lehrer
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

OK, damit Ruhe im Karton ist: Wenn man, wie Che, mit kommutierenden, neutralen Elementen rechnet (die Voraussetzung spricht ja nur von neutralen Elementen), folgt . Ich geb mich geschlagen Augenzwinkern .
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Wenn man, wie Che, mit kommutierenden, neutralen Elementen rechnet,[...]

Man könnte jetzt natürlich noch fragen, warum es wichtig ist, dass die neutralen Elemente "kommutieren" (wenngleich sie das natürlich tun, da sie ja übereinstimmen), aber hier wurde eh schon viel zu viel über diese triviale Aufgabe geredet und der Threadersteller ist ja inzwischen auch schon untergetaucht... Big Laugh
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