Stichprobenaufgabe

22.01.2013, 14:17

deppensido

Stichprobenaufgabe

Hallo,

bei der Aufgabe im Anhang weiß ich überhaupt nicht, was ich eigentlich zeigen soll.
Was heißt "am kleinsten ist" ?

22.01.2013, 14:22

HAL 9000

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Es wird einfach die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(c) = \sum_{i=1}^n (x_i-c)^2 \end{eqnarray*}$

betrachtet, dabei sind $\begin{eqnarray*} x_1,\ldots,x_n \end{eqnarray*}$ irgendwelche reellen Zahlen mit Mittelwert $\begin{eqnarray*} \bar{x} \end{eqnarray*}$ . Dann ist hier nachzuweisen, dass $\begin{eqnarray*} c=\bar{x} \end{eqnarray*}$ globale Minimumstelle dieser Funktion ist.

22.01.2013, 14:40

deppensido

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danke, das hilft mir schon mal weiter.
Kannst du mir vielleicht noch sagen, wie ich das am besten Beweise?

Intuitiv würde ich versuchen einfach die Definitionen zu benutzen.
Könnte das so klappen?

Grüße

22.01.2013, 15:00

HAL 9000

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Du könntest den "üblichen" Weg bei der Bestimmung von Extremstellen differenzierbarer Funktionen nehmen, d.h. Ableitung Null setzen, auflösen, Typ des Extremums bestimmen usw.

Angesichts der Tatsache, dass es sich hier um eine simple quadratische Funktion in $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ handelt, könnte man die Funktion auch einfach in Scheitelpunktform bringen. Freundlicherweise wissen wir ja bereits aus der Aufgabenstellung, wo das Minimum liegt, ich würde daher den Weg über

$\begin{eqnarray*} f(c) = \sum_{i=1}^n ((x_i-\bar{x})-(c-\bar{x}))^2 = \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 -2(c-\bar{x})\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x}) + n(c-\bar{x})^2 \end{eqnarray*}$

bevorzugen. Augenzwinkern

22.01.2013, 18:48

deppensido

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hallo,

die Gleichung die du Aufgestellt hast, scheint mir viel komplizierter als die ursprüngliche.
Was kann ich jetzt daraus ableiten? Dass der Scheitelpunkt bei c liegt vielleicht und somit de Aussage bewiesen ist?

Grüße

22.01.2013, 21:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von deppensido
die Gleichung die du Aufgestellt hast, scheint mir viel komplizierter als die ursprüngliche.

Wenn du nicht nachdenken willst und somit nicht erkennst, dass die Mittelsumme zu Null wird, dann nimm doch den ersten Weg über die Ableitung. Finger2

22.01.2013, 21:14

deppensido

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naja, es bleibt ja, wegen $\begin{eqnarray*} c = \bar{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n(x_i - \bar{x}) \end{eqnarray*}$ stehen.

Bin ich damit dann schon fertig? Mir schien das auf den ersten Blick zu simpel.

(Immerhin gibt es 4 Punkte für die Aufgabe)

Grüße

22.01.2013, 21:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von deppensido
naja, es bleibt ja, wegen $\begin{eqnarray*} c = \bar{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n(x_i - \bar{x}) \end{eqnarray*}$ stehen.

Nein!!! $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist doch variabel. Finger1

Es ist $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n(x_i - \bar{x}) = 0 \end{eqnarray*}$ , was aufgrund der Definition von $\begin{eqnarray*} \bar{x} \end{eqnarray*}$ stets gilt.

Nochmal: Nimm besser den ersten Weg.

22.01.2013, 21:52

deppensido

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ok, dass die Mittelsumme 0 wird erkenne ich jetzt. Mir war nicht bewusst, dass

$\begin{eqnarray*} \sum{i=1}^n(x_i - \bar{x}) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt. Die Ableitung bekomme ich nicht hin und es ist sehr wahrscheinlich auch nicht angedacht die Aufgabe so zu lösen.

Übrig bleibt dann ja: $\begin{eqnarray*} f(c) = \sum_{i=1}^n(x_i - \bar{x})^2 + n(c-\bar{x})^2 \end{eqnarray*}$

Die Nullstelle von dieser Funktion ist dann doch $\begin{eqnarray*} c = \bar{x} \end{eqnarray*}$ und da zuvor die Scheitelpunktform bestimmt wurde, muss an dieser Stelle ein globales Minimum liegen.

Stimmt das jetzt so verwirrt

Grüße

22.01.2013, 22:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von deppensido
Die Nullstelle von dieser Funktion ist dann doch $\begin{eqnarray*} c = \bar{x} \end{eqnarray*}$ und da zuvor die Scheitelpunktform bestimmt wurde, muss an dieser Stelle ein globales Minimum liegen.

Minimumstelle ja, aber es ist nicht die Nullstelle der Funktion. Bemühe dich dochmal, dich einigermaßen korrekt auszudrücken und nicht solche groben Patzer in den Text einzubauen.

22.01.2013, 22:17

deppensido

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hm...

kann ich die Aufgabe dann folgendermaßen abschließen?

aus $\begin{eqnarray*} f(c) = \sum_{i=1}^n(x_i - \bar{x})^2 + n * (c - \bar{x})^2 \end{eqnarray*}$ folgt, dass für $\begin{eqnarray*} c = \bar{x} \end{eqnarray*}$ die Quadratsumme $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n(x_i - c)^2 \end{eqnarray*}$ am kleinsten ist.

23.01.2013, 00:24

dinzeooo

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Zitat:

Original von deppensido
Die Ableitung bekomme ich nicht hin und es ist sehr wahrscheinlich auch nicht angedacht die Aufgabe so zu lösen.

ich behaupte das gegenteil Augenzwinkern

ich würde einiges drauf wetten, dass so gut wie jeder deiner kommilitonen es über die ableitung lösen wird, es sei denn, er hat hal9000's ansatz hier "geklaut".

diese summe abzuleiten ist übrigens überhaupt kein problem, versuch es einfach mal, sowas sollte man nämlich beherrschen!

23.01.2013, 01:08

deppensido

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ich hab es jetzt doch über die Ableitung versucht.

$\begin{eqnarray*} f'(c) = \sum_{i=1}^n -2 * (x_i - c) \end{eqnarray*}$

=> Extrema bei $\begin{eqnarray*} c = \bar{x} \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} (x_i - \bar{x}) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

nächste Ableitung: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n 2 > 0 => c = \bar{x} \end{eqnarray*}$ ist Minimum.

ist das so richtig? Ich hab die Summe jetzt gar nicht beachtet und einfach den Term abgeleitet.

Grüße

29.01.2013, 13:29

dinzeoo

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sorry, war länger nicht mehr online aber so will ich die aufgabe nicht stehen lassen auch wenn du sie vermutlich nicht mehr brauchst.

bestimmung von extrema ist klar, erste ableitung = 0 setzen usw. Augenzwinkern

also:

$\begin{eqnarray*} f'(c)=-2\sum (x_i-c)=0 \end{eqnarray*}$

jetzt nach c auflösen, wie aus der schule bekannt, allerdings muss die summe natürlich beachtet werden:

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow -2\cdot(\sum x_i-\sum c)=-2\cdot(\sum x_i-nc)=-2\sum x_i +2nc=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow -2\sum x_i=-2nc \end{eqnarray*}$

restlichen umformungen sollten jetzt klar sein....

29.01.2013, 14:56

deppensido

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moin,

nochmal danke für die Antwort. Hab für meine Lösung volle
Punktzahl bekommen. smile

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