Von Freunden und Politikern - der Freundschaftssatz

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Blondistnichtblöd Auf diesen Beitrag antworten »
Von Freunden und Politikern - der Freundschaftssatz
Meine Frage:
Hallo ihr!

Ich muss in der Uni ein Referat über den "Freundschaftssatz" oder auch bekannt als "Von Freunden und Politikern" aus "Das Buch der Beweise" halten. Jedoch steh ich dabei ziemlich auf dem Schlauch.
Dort wird geschrieben das eine Matrix nur aus Einsen die Eigenwerte n (mit der Vielfachheit 1) und 0 (mit der Vielfachheit n-1) besitzt und das dies sofort zu sehen ist.
Aber wie seh ich das?

Meine Ideen:
Normal bestimmt man ja Eigenwerte mit dem charakteristischen Polynom aber hier hab ich ja eine beliebt "große" Matrix.
Für hilfreiche Tipps wäre ich sehr dankbar!
Lg
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, man findet sofort einen Eigenvektor zum Eigenwert , nämlich , und ebenso linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert , nämlich , wobei die die Positionen von bis durchwandert.
Blondistnichtblöd Auf diesen Beitrag antworten »

Aber um einen Eigenvektor zu kennen brauch ich doch davor den Eigenwert? Außerdem stehe ich gerade total auf dem Schlauch wie mir hier die Eigenvektoren das verdeutlichen sollen verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du aufgrund der hier vorliegenden einfachen Struktur von Matrix einen Vektor derart "errätst", dass ein Vielfaches von ist, d.h. mit einem (komplexen) Faktor ist , dann ist ein Eigenvektor zum Eigenwert .

Von Dogmen wie "vor der Bestimmung eines EV braucht man den EW" halte ich nichts.

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Du kannst natürlich auch den länglicheren Standardweg gehen und die Determinante



bestimmen: Zu diesem Zweck addiere die erste bis (n-1)-te Zeile zur n-ten Zeile hinzu, dann stehen in der letzten, n-ten Zeile sämtlich der Wert . Diesen gemeinsamen Faktor aus der Determninante ausklammern, es steht nun sämtlich Einsen in der letzten Zeile. Und nun diese letzte Zeile von jeder vorherigen Zeile subtrahieren, es entsteht

,

was du nun sicher selbst ausrechnen kannst.
Blondistnichtblöd Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, die umformungen etc hab ich soweit alles verstanden - nur steh ich grad total auf dem Schlauch was mir dann die letzte Matrix bringen soll? verwirrt
bzw. muss ich die Determinante ja gleich 0 setzen. wenn ich den Faktor vor der Matrix gleich null setzte: n-lambda = 0 ist mir ersichtlich das lambda gleich n sein muss und das dies somit mein erster Eigenwert ist und der eben 1x vorkommt ...
nur mit der Matrix hab ich so meine Problemchen..
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte angenommen, dass du weißt, wie man die Determinante einer Dreiecksmatrix (d.h. oberhalb der Hauptdiagonale stehen sämtlich Nullen) bestimmt.
 
 
Blondistnichtblöd Auf diesen Beitrag antworten »

ah sorry - dadran hab ich jetzt nicht gedacht.. dh. Determinate von Dreiecksmatrix = Produkt der Diagonalelemente.. also hab ich hier (-lambda)^(n-1) * 1 ... und das muss dann gleich Null ergeben weil ich ja Eigenwert haben möchte und komm so auf den Eigenwert 0? Freude
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Blondistnichtblöd
und komm so auf den Eigenwert 0

... in der geforderten Vielfachheit (n-1), ja. Augenzwinkern
Blondistnichtblöd Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar - jetzt habs auch endlich ich verstanden!
Tausend dank dir! Freude
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