Dimension eines Raums aller Vektoren in Marix

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PatrickUni1991 Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension eines Raums aller Vektoren in Marix
Meine Frage:
Ich habe eine Frage zur Linearen Algebra. Die Angabe lautet:
Sei U der Raum aller Vektoren x = (x1, x2, x3) element R3, für welche die Matrix

einen Rang <= 2 besitzt. Welche Dimension d hat U, sofern a = (a1, a2, a3) und b = (b1, b2, b3)
linear unabhängig sind. (Begründung!)

Meine Ideen:
Der Rang ist ja die Dimension der linearen Hülle der Spalten bzw. Zeilen (Spaltenrang = Zeilenrang). Bei einer Umformung in eine Diagonalmatrix zur Bestimmung des Rangs fällt daher zumindest eine Zeile und eine Spalte weg, da ja der Rang max 2 sein soll. Gleichzeitig sind a und b aber lin. unabhängig. Das heißt doch, dass diese Matrix durch die 2 lin. unabhängigen Vektoren zumindest Rang 2 haben muss. In Summe hat die Matrix also mindestens und maximal Rang 2. Das würde dann in etwa so ausschauen:



Da U der Raum aller Vektoren x element R3 ist, sollte er ja Dimension 3 haben. Durch das wegfallen in der Matrix hat U aber dim 0, weil die es ja nur der Nullvektor ist.

Liege ich da zumindest teilweise richtig oder habe ich wiedereinmal etwas komplett missverstanden?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Alles komplett missverstanden.
1. Begründe, warum U ein Untervektorraum von R³ ist.
2. Wäre U=R³, dann könnte a,b,c=x eine Basis sein, dann wäre aber Rang(a,b,c)=3.
3. Begründe , warum a und b in U liegen.
4. Daraus folgt die Dimension von U. Fertig.
Patrick1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die Antwort smile , aber ich glaube ich versteh es leider noch nicht wirklich

ad 1.) U ist genau dann ein Unterraum, wenn
-) U nicht leer ist und
-)

Leer ist U nicht, da in R³ nicht leer ist und R³ ist auch abgeschlossen gegenüber den Operationen

a und b in U?: a und b sind auch 3-elementige Vektoren und sind daher auch in R³

Ich weiß nicht wie ich das anders in Beziehung setzen soll als im ersten Post. x ist ein 3-elementiger Vektor:
von dem her hat U die dimension 3, da er der Raum aller möglichen 3-elementigen Vektoren aus R3 ist. Aber durch die Matrix wird das vermutlich noch eingeschränkt.

Ich stehe da leider vollkommen am Schlauch verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die beiden ersten Spaltenvektoren von A sind a und b, diese Vektoren sind fest gegeben und nach Voraussetzung linear unabhängig. x ist der dritte Spaltenvektor von A, dieser Vektor variiert in R³.

1. l.u. l.a. oder l.u.
. l.a, und l.a.

etc.
Patrick1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

Dass a und b l.u. sind und dadurch die Matrix den Rang zwei haben muss war mir schon klar und dass das a,b und x voneinander l.a. sein müssen auch, sonst würde sich der rang verändern.

a,b l.u. --> rang(A) = 2, aber warum steht das bei dir in einer "genaudann" beziehung zu a,b,x l.a. ODER rang(A)=3 ? Ist das nicht schon per Angabe ausgeschlossen, da die Matrix rang <= 2 haben muss?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

a,b l.u. also rang A =2 oder rang A = 3 . Da ist noch nichts ausgeschlossen.
Jetzt kommt x ins Spiel. Die Anforderdung an rang A (=2) habe ich übersetzt in eine Anforderung an x (a,b,x l.a.) , denn wir suchen doch die Menge aller x, für die das gilt.
Im nächsten Schritt habe ich gezeigt, dass 0 in U, also U nicht leer ist . Damit sind wir auf allerbestem Weg, das UVR-Kriterium nachzuweisen.

Wenn du möchtest, kannst du 1. fertigstellen und dann 2. und 3. beweisen, um daraus 4. zu schließen.
 
 
Patrick1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

"danke" ist gut, wie ist denn nun die Dimension von U ?
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