Differenzierung sin^ln

23.01.2013, 15:28

fftsf

Differenzierung sin^ln

Meine Frage:
Differenzieren Sie die folgenden reellwertige Funktion:

$\begin{eqnarray*} (sin(x))^{ln(x)} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich hab da leider keine Ideen.

Ich habe versucht Rechenreglen zu finden und dabei gefunden das der sin(x) nach der Ableitung zum cos(x) wird und ln(x) zu 1/x. Aber was man machen muss wenn man eine konstellation wie oben hat, weiß ich leider nicht.

23.01.2013, 15:56

zyko

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Differenzierung sin^ln
Es ist sinnvoll den Ausdruck mit der e-Funktion umzuformen; denn es gilt:
$\begin{eqnarray*} a^b=e^{b\cdot \ln(a)} \end{eqnarray*}$ .
Zum Ableiten braucht man die Ableitung der e-Funktion (äußere) multipliziert mit der Ableitung des Exponenten (innere) (Produktregel), also:
$\begin{eqnarray*} \left(a^b\right)'=e^{b\cdot \ln(a)}\cdot\{b' \ln(a) + b (\ln(a))'\} \end{eqnarray*}$ .

23.01.2013, 16:06

fftsf

Auf diesen Beitrag antworten »

Bahnhof!

Kannst du es vielleicht irgendwie etwas einfacher erklären?

- Was ist eine e-Funktion?
- b * ln(a) => ln(x) * ln(sin(x)), korrekt?
- das was zwischen {...} steht hmmm {1/x * ln(sin(x)) + b(ln(a))'} ???

23.01.2013, 16:46

sile5000

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
die e-Funktion ist die Umkehr-Funktion von ln bzw. ln ist die Umkehrfkt. von e. Das heißt in diesem Fall, dass $\begin{eqnarray*} e^{ln(x)} \end{eqnarray*}$ gleich x ist.
e hat die besonderen Eigenschaften, dass die Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ wieder der gleiche Term ist.

Diese Eigenschaft lässt sich wunderbar mit der Kettenregel kombinieren.
Und dann kommt sowas raus wie oben beschrieben.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \left(a^b\right)'=e^{b\cdot \ln(a)}\cdot\{b' \ln(a) + b (\ln(a))'\} \end{eqnarray*}$

Hier hast du a und b auch richtig substituiert (also eingesetzt).
Du musst nur noch $\begin{eqnarray*} b \cdot (\ln(a))'\ \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} ln(x) \cdot ln(sin(x))'\ \end{eqnarray*}$ fertig schreiben (das kannst du mit der Kettenregel machen) und wieder in den obigen Term einfügen.

23.01.2013, 17:11

fftsf

Auf diesen Beitrag antworten »

Super danke Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Differenzierung sin^ln

Verwandte Themen